Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53632 / 15231
↖ ↑ ↗
← N 79.750421°
W 32.695312°		 ← 54.33 m → N 79.750421°
W 32.692566°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
N 79.749932°
W 32.695312°		 ← 54.34 m →
2 953 m²		 N 79.749932°
W 32.692566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409183502197266 y=0.116207122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409183502197266 × 217)
    floor (0.409183502197266 × 131072)
    floor (53632.5)     		tx = 53632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116207122802734 × 217)
    floor (0.116207122802734 × 131072)
    floor (15231.5)     		ty = 15231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53632 / 15231 ti = "17/53632/15231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53632/15231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53632 ÷ 217
    53632 ÷ 131072     		x = 0.4091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15231 ÷ 217
    15231 ÷ 131072     		y = 0.116203308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4091796875 × 2 - 1) × π
    -0.181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57064085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116203308105469 × 2 - 1) × π
    0.767593383789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.41146573538692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57064085} λ = -0.57064085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41146573538692))-π/2
    2×atan(11.1502925517488)-π/2
    2×1.48135187482574-π/2
    2.96270374965148-1.57079632675     		φ = 1.39190742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57064085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.695312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39190742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.750421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53632 KachelY 15231 -0.57064085 1.39190742 -32.695312 79.750421
    Oben rechts KachelX + 1 53633 KachelY 15231 -0.57059292 1.39190742 -32.692566 79.750421
    Unten links KachelX 53632 KachelY + 1 15232 -0.57064085 1.39189889 -32.695312 79.749932
    Unten rechts KachelX + 1 53633 KachelY + 1 15232 -0.57059292 1.39189889 -32.692566 79.749932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39190742-1.39189889) × R
    8.52999999989557e-06 × 6371000     		dl = 54.3446299993346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39190742-1.39189889) × R
    8.52999999989557e-06 × 6371000     		dr = 54.3446299993346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57064085--0.57059292) × cos(1.39190742) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177936321100294 × 6371000     		do = 54.3349962219507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57064085--0.57059292) × cos(1.39189889) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177944714972114 × 6371000     		du = 54.3375593916894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39190742)-sin(1.39189889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177936321100294-0.177944714972114)×R²
    abs(-0.57059292--0.57064085)×8.39387182050011e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.39387182050011e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.39387182050011e-06×40589641000000     		ar = 2952.88491313645m²