Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53628 / 22920
↖ ↑ ↗
← N 47.487513°
E114.587402°		 ← 412.78 m → N 47.487513°
E114.592896°		 →
↑
412.78 m
↓
↑
412.78 m
↓
N 47.483801°
E114.587402°		 ← 412.81 m →
170 394 m²		 N 47.483801°
E114.592896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818305969238281 y=0.349739074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818305969238281 × 216)
    floor (0.818305969238281 × 65536)
    floor (53628.5)     		tx = 53628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349739074707031 × 216)
    floor (0.349739074707031 × 65536)
    floor (22920.5)     		ty = 22920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53628 / 22920 ti = "16/53628/22920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53628/22920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53628 ÷ 216
    53628 ÷ 65536     		x = 0.81829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22920 ÷ 216
    22920 ÷ 65536     		y = 0.3497314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81829833984375 × 2 - 1) × π
    0.6365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99992745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3497314453125 × 2 - 1) × π
    0.300537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.944165174916626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99992745} λ = 1.99992745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944165174916626))-π/2
    2×atan(2.57066642573478)-π/2
    2×1.1998048911833-π/2
    2.39960978236659-1.57079632675     		φ = 0.82881346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99992745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.587402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82881346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.487513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53628 KachelY 22920 1.99992745 0.82881346 114.587402 47.487513
    Oben rechts KachelX + 1 53629 KachelY 22920 2.00002333 0.82881346 114.592896 47.487513
    Unten links KachelX 53628 KachelY + 1 22921 1.99992745 0.82874867 114.587402 47.483801
    Unten rechts KachelX + 1 53629 KachelY + 1 22921 2.00002333 0.82874867 114.592896 47.483801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82881346-0.82874867) × R
    6.47900000000368e-05 × 6371000     		dl = 412.777090000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82881346-0.82874867) × R
    6.47900000000368e-05 × 6371000     		dr = 412.777090000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99992745-2.00002333) × cos(0.82881346) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.675750869883859 × 6371000     		do = 412.783418979572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99992745-2.00002333) × cos(0.82874867) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.675798627123702 × 6371000     		du = 412.812591560211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82881346)-sin(0.82874867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675750869883859-0.675798627123702)×R²
    abs(2.00002333-1.99992745)×4.77572398432935e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.77572398432935e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.77572398432935e-05×40589641000000     		ar = 170393.559432774m²