Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53626 / 15222
↖ ↑ ↗
← N 79.754818°
W 32.711792°		 ← 54.31 m → N 79.754818°
W 32.709046°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
N 79.754330°
W 32.711792°		 ← 54.31 m →
2 948 m²		 N 79.754330°
W 32.709046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.409137725830078 y=0.116138458251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.409137725830078 × 217)
    floor (0.409137725830078 × 131072)
    floor (53626.5)     		tx = 53626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116138458251953 × 217)
    floor (0.116138458251953 × 131072)
    floor (15222.5)     		ty = 15222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53626 / 15222 ti = "17/53626/15222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53626/15222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53626 ÷ 217
    53626 ÷ 131072     		x = 0.409133911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15222 ÷ 217
    15222 ÷ 131072     		y = 0.116134643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.409133911132812 × 2 - 1) × π
    -0.181732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57092847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116134643554688 × 2 - 1) × π
    0.767730712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41189716748351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57092847} λ = -0.57092847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41189716748351))-π/2
    2×atan(11.1551041837135)-π/2
    2×1.48139025039843-π/2
    2.96278050079686-1.57079632675     		φ = 1.39198417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57092847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.711792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39198417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.754818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53626 KachelY 15222 -0.57092847 1.39198417 -32.711792 79.754818
    Oben rechts KachelX + 1 53627 KachelY 15222 -0.57088054 1.39198417 -32.709046 79.754818
    Unten links KachelX 53626 KachelY + 1 15223 -0.57092847 1.39197565 -32.711792 79.754330
    Unten rechts KachelX + 1 53627 KachelY + 1 15223 -0.57088054 1.39197565 -32.709046 79.754330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39198417-1.39197565) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39198417-1.39197565) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57092847--0.57088054) × cos(1.39198417) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177860795352488 × 6371000     		do = 54.3119335262836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57092847--0.57088054) × cos(1.39197565) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177869179500236 × 6371000     		du = 54.3144937266598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39198417)-sin(1.39197565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177860795352488-0.177869179500236)×R²
    abs(-0.57088054--0.57092847)×8.38414774809171e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.38414774809171e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.38414774809171e-06×40589641000000     		ar = 2948.17120395922m²