Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53622 / 22930
↖ ↑ ↗
← N 47.450380°
E114.554443°		 ← 413.03 m → N 47.450380°
E114.559936°		 →
↑
413.10 m
↓
↑
413.10 m
↓
N 47.446665°
E114.554443°		 ← 413.06 m →
170 628 m²		 N 47.446665°
E114.559936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818214416503906 y=0.349891662597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818214416503906 × 216)
    floor (0.818214416503906 × 65536)
    floor (53622.5)     		tx = 53622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349891662597656 × 216)
    floor (0.349891662597656 × 65536)
    floor (22930.5)     		ty = 22930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53622 / 22930 ti = "16/53622/22930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53622/22930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53622 ÷ 216
    53622 ÷ 65536     		x = 0.818206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22930 ÷ 216
    22930 ÷ 65536     		y = 0.349884033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818206787109375 × 2 - 1) × π
    0.63641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99935221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349884033203125 × 2 - 1) × π
    0.30023193359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.943206436924225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99935221} λ = 1.99935221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.943206436924225))-π/2
    2×atan(2.56820301123986)-π/2
    2×1.19948084269681-π/2
    2.39896168539363-1.57079632675     		φ = 0.82816536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99935221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.554443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82816536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.450380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53622 KachelY 22930 1.99935221 0.82816536 114.554443 47.450380
    Oben rechts KachelX + 1 53623 KachelY 22930 1.99944808 0.82816536 114.559936 47.450380
    Unten links KachelX 53622 KachelY + 1 22931 1.99935221 0.82810052 114.554443 47.446665
    Unten rechts KachelX + 1 53623 KachelY + 1 22931 1.99944808 0.82810052 114.559936 47.446665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82816536-0.82810052) × R
    6.48399999999549e-05 × 6371000     		dl = 413.095639999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82816536-0.82810052) × R
    6.48399999999549e-05 × 6371000     		dr = 413.095639999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99935221-1.99944808) × cos(0.82816536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676228461939311 × 6371000     		do = 413.032074278433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99935221-1.99944808) × cos(0.82810052) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.676276227625482 × 6371000     		du = 413.061248975372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82816536)-sin(0.82810052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676228461939311-0.676276227625482)×R²
    abs(1.99944808-1.99935221)×4.77656861712639e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77656861712639e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77656861712639e-05×40589641000000     		ar = 170627.775093987m²