Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53620 / 21387
N 52.872446°
E114.543457°
← 368.70 m → N 52.872446°
E114.548950°

368.69 m

368.69 m
N 52.869130°
E114.543457°
← 368.73 m →
135 943 m²
N 52.869130°
E114.548950°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818183898925781 y=0.326347351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818183898925781 × 216)
    floor (0.818183898925781 × 65536)
    floor (53620.5)
    tx = 53620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326347351074219 × 216)
    floor (0.326347351074219 × 65536)
    floor (21387.5)
    ty = 21387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53620 / 21387 ti = "16/53620/21387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53620/21387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53620 ÷ 216
    53620 ÷ 65536
    x = 0.81817626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21387 ÷ 216
    21387 ÷ 65536
    y = 0.326339721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.81817626953125 × 2 - 1) × π
    0.6363525390625 × 3.1415926535
    Λ = 1.99916046
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.326339721679688 × 2 - 1) × π
    0.347320556640625 × 3.1415926535
    Φ = 1.09113970915172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99916046} λ = 1.99916046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09113970915172))-π/2
    2×atan(2.9776658123746)-π/2
    2×1.24679729200463-π/2
    2.49359458400925-1.57079632675
    φ = 0.92279826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99916046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92279826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.872446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53620 KachelY 21387 1.99916046 0.92279826 114.543457 52.872446
    Oben rechts KachelX + 1 53621 KachelY 21387 1.99925634 0.92279826 114.548950 52.872446
    Unten links KachelX 53620 KachelY + 1 21388 1.99916046 0.92274039 114.543457 52.869130
    Unten rechts KachelX + 1 53621 KachelY + 1 21388 1.99925634 0.92274039 114.548950 52.869130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.92279826-0.92274039) × R
    5.78700000000154e-05 × 6371000
    dl = 368.689770000098m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.92279826-0.92274039) × R
    5.78700000000154e-05 × 6371000
    dr = 368.689770000098m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.99916046-1.99925634) × cos(0.92279826) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.603591487496769 × 6371000
    do = 368.704753453415m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.99916046-1.99925634) × cos(0.92274039) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.603637625875086 × 6371000
    du = 368.732937150095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.92279826)-sin(0.92274039))×
    abs(λ12)×abs(0.603591487496769-0.603637625875086)×
    abs(1.99925634-1.99916046)×4.61383783172398e-05×
    9.58800000001592e-05×4.61383783172398e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.61383783172398e-05×40589641000000
    ar = 135942.86630673m²