Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53618 / 21934
↖ ↑ ↗
← N 51.020666°
E114.532470°		 ← 384.25 m → N 51.020666°
E114.537964°		 →
↑
384.24 m
↓
↑
384.24 m
↓
N 51.017211°
E114.532470°		 ← 384.28 m →
147 648 m²		 N 51.017211°
E114.537964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.818153381347656 y=0.334693908691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.818153381347656 × 216)
    floor (0.818153381347656 × 65536)
    floor (53618.5)     		tx = 53618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334693908691406 × 216)
    floor (0.334693908691406 × 65536)
    floor (21934.5)     		ty = 21934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53618 / 21934 ti = "16/53618/21934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53618/21934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53618 ÷ 216
    53618 ÷ 65536     		x = 0.818145751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21934 ÷ 216
    21934 ÷ 65536     		y = 0.334686279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.818145751953125 × 2 - 1) × π
    0.63629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99896871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334686279296875 × 2 - 1) × π
    0.33062744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03869674096738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99896871} λ = 1.99896871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03869674096738))-π/2
    2×atan(2.82553221336898)-π/2
    2×1.23063746762786-π/2
    2.46127493525573-1.57079632675     		φ = 0.89047861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99896871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.532470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89047861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.020666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53618 KachelY 21934 1.99896871 0.89047861 114.532470 51.020666
    Oben rechts KachelX + 1 53619 KachelY 21934 1.99906459 0.89047861 114.537964 51.020666
    Unten links KachelX 53618 KachelY + 1 21935 1.99896871 0.89041830 114.532470 51.017211
    Unten rechts KachelX + 1 53619 KachelY + 1 21935 1.99906459 0.89041830 114.537964 51.017211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89047861-0.89041830) × R
    6.03099999999523e-05 × 6371000     		dl = 384.235009999696m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89047861-0.89041830) × R
    6.03099999999523e-05 × 6371000     		dr = 384.235009999696m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99896871-1.99906459) × cos(0.89047861) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.629040040189884 × 6371000     		do = 384.250039528998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99896871-1.99906459) × cos(0.89041830) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.629086922405536 × 6371000     		du = 384.278677599815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89047861)-sin(0.89041830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629040040189884-0.629086922405536)×R²
    abs(1.99906459-1.99896871)×4.68822156528548e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.68822156528548e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.68822156528548e-05×40589641000000     		ar = 147647.819700164m²