Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53601 / 50272
↖ ↑ ↗
← S 68.847665°
E114.439087°		 ← 220.40 m → S 68.847665°
E114.444580°		 →
↑
220.37 m
↓
↑
220.37 m
↓
S 68.849647°
E114.439087°		 ← 220.38 m →
48 568 m²		 S 68.849647°
E114.444580°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817893981933594 y=0.767097473144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817893981933594 × 216)
    floor (0.817893981933594 × 65536)
    floor (53601.5)     		tx = 53601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767097473144531 × 216)
    floor (0.767097473144531 × 65536)
    floor (50272.5)     		ty = 50272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53601 / 50272 ti = "16/53601/50272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53601/50272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53601 ÷ 216
    53601 ÷ 65536     		x = 0.817886352539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50272 ÷ 216
    50272 ÷ 65536     		y = 0.76708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817886352539062 × 2 - 1) × π
    0.635772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.99733886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76708984375 × 2 - 1) × π
    -0.5341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.67817498189893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99733886} λ = 1.99733886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67817498189893))-π/2
    2×atan(0.186714422485221)-π/2
    2×0.184588944616345-π/2
    0.36917788923269-1.57079632675     		φ = -1.20161844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99733886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.439087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20161844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.847665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53601 KachelY 50272 1.99733886 -1.20161844 114.439087 -68.847665
    Oben rechts KachelX + 1 53602 KachelY 50272 1.99743473 -1.20161844 114.444580 -68.847665
    Unten links KachelX 53601 KachelY + 1 50273 1.99733886 -1.20165303 114.439087 -68.849647
    Unten rechts KachelX + 1 53602 KachelY + 1 50273 1.99743473 -1.20165303 114.444580 -68.849647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20161844--1.20165303) × R
    3.45899999998345e-05 × 6371000     		dl = 220.372889998945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20161844--1.20165303) × R
    3.45899999998345e-05 × 6371000     		dr = 220.372889998945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99733886-1.99743473) × cos(-1.20161844) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360848831226474 × 6371000     		do = 220.40205293192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99733886-1.99743473) × cos(-1.20165303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360816571535403 × 6371000     		du = 220.382349107149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20161844)-sin(-1.20165303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360848831226474-0.360816571535403)×R²
    abs(1.99743473-1.99733886)×3.22596910710682e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22596910710682e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22596910710682e-05×40589641000000     		ar = 48568.4662769812m²