Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53600 / 50269
↖ ↑ ↗
← S 68.841718°
E114.433594°		 ← 220.46 m → S 68.841718°
E114.439087°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
S 68.843700°
E114.433594°		 ← 220.44 m →
48 596 m²		 S 68.843700°
E114.439087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817878723144531 y=0.767051696777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817878723144531 × 216)
    floor (0.817878723144531 × 65536)
    floor (53600.5)     		tx = 53600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767051696777344 × 216)
    floor (0.767051696777344 × 65536)
    floor (50269.5)     		ty = 50269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53600 / 50269 ti = "16/53600/50269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53600/50269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53600 ÷ 216
    53600 ÷ 65536     		x = 0.81787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50269 ÷ 216
    50269 ÷ 65536     		y = 0.767044067382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81787109375 × 2 - 1) × π
    0.6357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99724299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767044067382812 × 2 - 1) × π
    -0.534088134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67788736050121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99724299} λ = 1.99724299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67788736050121))-π/2
    2×atan(0.186768133272206)-π/2
    2×0.184640845499886-π/2
    0.369281690999772-1.57079632675     		φ = -1.20151464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99724299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.433594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20151464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.841718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53600 KachelY 50269 1.99724299 -1.20151464 114.433594 -68.841718
    Oben rechts KachelX + 1 53601 KachelY 50269 1.99733886 -1.20151464 114.439087 -68.841718
    Unten links KachelX 53600 KachelY + 1 50270 1.99724299 -1.20154924 114.433594 -68.843700
    Unten rechts KachelX + 1 53601 KachelY + 1 50270 1.99733886 -1.20154924 114.439087 -68.843700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20151464--1.20154924) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20151464--1.20154924) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99724299-1.99733886) × cos(-1.20151464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360945635686674 × 6371000     		do = 220.461179912291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99724299-1.99733886) × cos(-1.20154924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.360913367965332 × 6371000     		du = 220.44147118273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20151464)-sin(-1.20154924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360945635686674-0.360913367965332)×R²
    abs(1.99733886-1.99724299)×3.22677213419609e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22677213419609e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22677213419609e-05×40589641000000     		ar = 48595.5406742851m²