Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53599 / 50267
↖ ↑ ↗
← S 68.837752°
E114.428100°		 ← 220.52 m → S 68.837752°
E114.433594°		 →
↑
220.50 m
↓
↑
220.50 m
↓
S 68.839735°
E114.428100°		 ← 220.50 m →
48 623 m²		 S 68.839735°
E114.433594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817863464355469 y=0.767021179199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817863464355469 × 216)
    floor (0.817863464355469 × 65536)
    floor (53599.5)     		tx = 53599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767021179199219 × 216)
    floor (0.767021179199219 × 65536)
    floor (50267.5)     		ty = 50267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53599 / 50267 ti = "16/53599/50267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53599/50267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53599 ÷ 216
    53599 ÷ 65536     		x = 0.817855834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50267 ÷ 216
    50267 ÷ 65536     		y = 0.767013549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817855834960938 × 2 - 1) × π
    0.635711669921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99714711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.767013549804688 × 2 - 1) × π
    -0.534027099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67769561290273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99714711} λ = 1.99714711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67769561290273))-π/2
    2×atan(0.186803949046918)-π/2
    2×0.184675453823907-π/2
    0.369350907647814-1.57079632675     		φ = -1.20144542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99714711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.428100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20144542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.837752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53599 KachelY 50267 1.99714711 -1.20144542 114.428100 -68.837752
    Oben rechts KachelX + 1 53600 KachelY 50267 1.99724299 -1.20144542 114.433594 -68.837752
    Unten links KachelX 53599 KachelY + 1 50268 1.99714711 -1.20148003 114.428100 -68.839735
    Unten rechts KachelX + 1 53600 KachelY + 1 50268 1.99724299 -1.20148003 114.433594 -68.839735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20144542--1.20148003) × R
    3.4609999999935e-05 × 6371000     		dl = 220.500309999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20144542--1.20148003) × R
    3.4609999999935e-05 × 6371000     		dr = 220.500309999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99714711-1.99724299) × cos(-1.20144542) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.361010188484228 × 6371000     		do = 220.523607930525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99714711-1.99724299) × cos(-1.20148003) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.36097791230165 × 6371000     		du = 220.503891976629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20144542)-sin(-1.20148003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361010188484228-0.36097791230165)×R²
    abs(1.99724299-1.99714711)×3.2276182577784e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.2276182577784e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.2276182577784e-05×40589641000000     		ar = 48623.3502287647m²