Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53598 / 50266
↖ ↑ ↗
← S 68.835769°
E114.422608°		 ← 220.52 m → S 68.835769°
E114.428100°		 →
↑
220.50 m
↓
↑
220.50 m
↓
S 68.837752°
E114.422608°		 ← 220.50 m →
48 623 m²		 S 68.837752°
E114.428100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817848205566406 y=0.767005920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817848205566406 × 216)
    floor (0.817848205566406 × 65536)
    floor (53598.5)     		tx = 53598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.767005920410156 × 216)
    floor (0.767005920410156 × 65536)
    floor (50266.5)     		ty = 50266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53598 / 50266 ti = "16/53598/50266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53598/50266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53598 ÷ 216
    53598 ÷ 65536     		x = 0.817840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50266 ÷ 216
    50266 ÷ 65536     		y = 0.766998291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817840576171875 × 2 - 1) × π
    0.63568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.99705124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766998291015625 × 2 - 1) × π
    -0.53399658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67759973910349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99705124} λ = 1.99705124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67759973910349))-π/2
    2×atan(0.186821859509785)-π/2
    2×0.184692760306768-π/2
    0.369385520613537-1.57079632675     		φ = -1.20141081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99705124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.422608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20141081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.835769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53598 KachelY 50266 1.99705124 -1.20141081 114.422608 -68.835769
    Oben rechts KachelX + 1 53599 KachelY 50266 1.99714711 -1.20141081 114.428100 -68.835769
    Unten links KachelX 53598 KachelY + 1 50267 1.99705124 -1.20144542 114.422608 -68.837752
    Unten rechts KachelX + 1 53599 KachelY + 1 50267 1.99714711 -1.20144542 114.428100 -68.837752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20141081--1.20144542) × R
    3.4609999999935e-05 × 6371000     		dl = 220.500309999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20141081--1.20144542) × R
    3.4609999999935e-05 × 6371000     		dr = 220.500309999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99705124-1.99714711) × cos(-1.20141081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361042464234369 × 6371000     		do = 220.52032160501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99705124-1.99714711) × cos(-1.20144542) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.361010188484228 × 6371000     		du = 220.500607971557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20141081)-sin(-1.20144542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361042464234369-0.361010188484228)×R²
    abs(1.99714711-1.99705124)×3.22757501409199e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.22757501409199e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.22757501409199e-05×40589641000000     		ar = 48622.6258488671m²