Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53591 / 21785
↖ ↑ ↗
← N 51.532669°
E114.384155°		 ← 379.99 m → N 51.532669°
E114.389649°		 →
↑
379.97 m
↓
↑
379.97 m
↓
N 51.529252°
E114.384155°		 ← 380.02 m →
144 389 m²		 N 51.529252°
E114.389649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817741394042969 y=0.332420349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817741394042969 × 216)
    floor (0.817741394042969 × 65536)
    floor (53591.5)     		tx = 53591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332420349121094 × 216)
    floor (0.332420349121094 × 65536)
    floor (21785.5)     		ty = 21785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53591 / 21785 ti = "16/53591/21785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53591/21785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53591 ÷ 216
    53591 ÷ 65536     		x = 0.817733764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21785 ÷ 216
    21785 ÷ 65536     		y = 0.332412719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817733764648438 × 2 - 1) × π
    0.635467529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99638012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332412719726562 × 2 - 1) × π
    0.335174560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05298193705415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99638012} λ = 1.99638012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05298193705415))-π/2
    2×atan(2.86618517150135)-π/2
    2×1.23510553315147-π/2
    2.47021106630293-1.57079632675     		φ = 0.89941474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99638012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.384155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89941474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.532669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53591 KachelY 21785 1.99638012 0.89941474 114.384155 51.532669
    Oben rechts KachelX + 1 53592 KachelY 21785 1.99647600 0.89941474 114.389649 51.532669
    Unten links KachelX 53591 KachelY + 1 21786 1.99638012 0.89935510 114.384155 51.529252
    Unten rechts KachelX + 1 53592 KachelY + 1 21786 1.99647600 0.89935510 114.389649 51.529252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89941474-0.89935510) × R
    5.96400000000274e-05 × 6371000     		dl = 379.966440000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89941474-0.89935510) × R
    5.96400000000274e-05 × 6371000     		dr = 379.966440000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99638012-1.99647600) × cos(0.89941474) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.62206831169182 × 6371000     		do = 379.991348857801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99638012-1.99647600) × cos(0.89935510) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.622115006497119 × 6371000     		du = 380.019872448725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89941474)-sin(0.89935510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62206831169182-0.622115006497119)×R²
    abs(1.99647600-1.99638012)×4.66948052982863e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.66948052982863e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.66948052982863e-05×40589641000000     		ar = 144389.379102966m²