Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53585 / 22062
↖ ↑ ↗
← N 50.576260°
E114.351196°		 ← 387.88 m → N 50.576260°
E114.356689°		 →
↑
387.87 m
↓
↑
387.87 m
↓
N 50.572772°
E114.351196°		 ← 387.91 m →
150 452 m²		 N 50.572772°
E114.356689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817649841308594 y=0.336647033691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817649841308594 × 216)
    floor (0.817649841308594 × 65536)
    floor (53585.5)     		tx = 53585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336647033691406 × 216)
    floor (0.336647033691406 × 65536)
    floor (22062.5)     		ty = 22062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53585 / 22062 ti = "16/53585/22062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53585/22062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53585 ÷ 216
    53585 ÷ 65536     		x = 0.817642211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22062 ÷ 216
    22062 ÷ 65536     		y = 0.336639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817642211914062 × 2 - 1) × π
    0.635284423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.99580488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336639404296875 × 2 - 1) × π
    0.32672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.02642489466464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99580488} λ = 1.99580488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02642489466464))-π/2
    2×atan(2.79106960871631)-π/2
    2×1.22675929580236-π/2
    2.45351859160471-1.57079632675     		φ = 0.88272226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99580488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.351196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88272226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.576260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53585 KachelY 22062 1.99580488 0.88272226 114.351196 50.576260
    Oben rechts KachelX + 1 53586 KachelY 22062 1.99590075 0.88272226 114.356689 50.576260
    Unten links KachelX 53585 KachelY + 1 22063 1.99580488 0.88266138 114.351196 50.572772
    Unten rechts KachelX + 1 53586 KachelY + 1 22063 1.99590075 0.88266138 114.356689 50.572772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88272226-0.88266138) × R
    6.08799999999299e-05 × 6371000     		dl = 387.866479999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88272226-0.88266138) × R
    6.08799999999299e-05 × 6371000     		dr = 387.866479999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99580488-1.99590075) × cos(0.88272226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635050634303192 × 6371000     		do = 387.881160763124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99580488-1.99590075) × cos(0.88266138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635097661131065 × 6371000     		du = 387.90988417445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88272226)-sin(0.88266138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635050634303192-0.635097661131065)×R²
    abs(1.99590075-1.99580488)×4.70268278722763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70268278722763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70268278722763e-05×40589641000000     		ar = 150451.670953697m²