Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53582 / 102222
↖ ↑ ↗
← S 70.449670°
W 32.832642°		 ← 102.21 m → S 70.449670°
W 32.829895°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
S 70.450589°
W 32.832642°		 ← 102.20 m →
10 444 m²		 S 70.450589°
W 32.829895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408802032470703 y=0.779895782470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408802032470703 × 217)
    floor (0.408802032470703 × 131072)
    floor (53582.5)     		tx = 53582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779895782470703 × 217)
    floor (0.779895782470703 × 131072)
    floor (102222.5)     		ty = 102222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53582 / 102222 ti = "17/53582/102222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53582/102222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53582 ÷ 217
    53582 ÷ 131072     		x = 0.408798217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102222 ÷ 217
    102222 ÷ 131072     		y = 0.779891967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408798217773438 × 2 - 1) × π
    -0.182403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57303770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779891967773438 × 2 - 1) × π
    -0.559783935546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75861309946138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57303770} λ = -0.57303770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75861309946138))-π/2
    2×atan(0.172283638477428)-π/2
    2×0.170608811445982-π/2
    0.341217622891965-1.57079632675     		φ = -1.22957870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57303770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.832642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22957870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.449670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53582 KachelY 102222 -0.57303770 -1.22957870 -32.832642 -70.449670
    Oben rechts KachelX + 1 53583 KachelY 102222 -0.57298976 -1.22957870 -32.829895 -70.449670
    Unten links KachelX 53582 KachelY + 1 102223 -0.57303770 -1.22959474 -32.832642 -70.450589
    Unten rechts KachelX + 1 53583 KachelY + 1 102223 -0.57298976 -1.22959474 -32.829895 -70.450589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22957870--1.22959474) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22957870--1.22959474) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57303770--0.57298976) × cos(-1.22957870) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334634767982467 × 6371000     		do = 102.206071640706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57303770--0.57298976) × cos(-1.22959474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334619652679041 × 6371000     		du = 102.201455037972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22957870)-sin(-1.22959474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334634767982467-0.334619652679041)×R²
    abs(-0.57298976--0.57303770)×1.51153034262386e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51153034262386e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51153034262386e-05×40589641000000     		ar = 10444.2884271332m²