Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53581 / 15245
↖ ↑ ↗
← N 79.743577°
W 32.835388°		 ← 54.37 m → N 79.743577°
W 32.832642°		 →
↑
54.41 m
↓
↑
54.41 m
↓
N 79.743087°
W 32.835388°		 ← 54.37 m →
2 958 m²		 N 79.743087°
W 32.832642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408794403076172 y=0.116313934326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408794403076172 × 217)
    floor (0.408794403076172 × 131072)
    floor (53581.5)     		tx = 53581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116313934326172 × 217)
    floor (0.116313934326172 × 131072)
    floor (15245.5)     		ty = 15245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53581 / 15245 ti = "17/53581/15245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53581/15245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53581 ÷ 217
    53581 ÷ 131072     		x = 0.408790588378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15245 ÷ 217
    15245 ÷ 131072     		y = 0.116310119628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408790588378906 × 2 - 1) × π
    -0.182418823242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.57308563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116310119628906 × 2 - 1) × π
    0.767379760742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.41079461879224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57308563} λ = -0.57308563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41079461879224))-π/2
    2×atan(11.142811915852)-π/2
    2×1.48129214709775-π/2
    2.9625842941955-1.57079632675     		φ = 1.39178797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57308563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.835388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39178797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.743577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53581 KachelY 15245 -0.57308563 1.39178797 -32.835388 79.743577
    Oben rechts KachelX + 1 53582 KachelY 15245 -0.57303770 1.39178797 -32.832642 79.743577
    Unten links KachelX 53581 KachelY + 1 15246 -0.57308563 1.39177943 -32.835388 79.743087
    Unten rechts KachelX + 1 53582 KachelY + 1 15246 -0.57303770 1.39177943 -32.832642 79.743087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39178797-1.39177943) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dl = 54.4083400003621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39178797-1.39177943) × R
    8.54000000005684e-06 × 6371000     		dr = 54.4083400003621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57308563--0.57303770) × cos(1.39178797) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178053863647967 × 6371000     		do = 54.3708892529197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57308563--0.57303770) × cos(1.39177943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.178062267178615 × 6371000     		du = 54.3734553720975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39178797)-sin(1.39177943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178053863647967-0.178062267178615)×R²
    abs(-0.57303770--0.57308563)×8.40353064790467e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.40353064790467e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.40353064790467e-06×40589641000000     		ar = 2958.29963777393m²