Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53576 / 22936
↖ ↑ ↗
← N 47.428087°
E114.301758°		 ← 413.25 m → N 47.428087°
E114.307251°		 →
↑
413.22 m
↓
↑
413.22 m
↓
N 47.424371°
E114.301758°		 ← 413.28 m →
170 771 m²		 N 47.424371°
E114.307251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817512512207031 y=0.349983215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817512512207031 × 216)
    floor (0.817512512207031 × 65536)
    floor (53576.5)     		tx = 53576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349983215332031 × 216)
    floor (0.349983215332031 × 65536)
    floor (22936.5)     		ty = 22936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53576 / 22936 ti = "16/53576/22936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53576/22936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53576 ÷ 216
    53576 ÷ 65536     		x = 0.8175048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22936 ÷ 216
    22936 ÷ 65536     		y = 0.3499755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8175048828125 × 2 - 1) × π
    0.635009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99494201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3499755859375 × 2 - 1) × π
    0.300048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.942631194128784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99494201} λ = 1.99494201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.942631194128784))-π/2
    2×atan(2.56672609579363)-π/2
    2×1.19928630370838-π/2
    2.39857260741677-1.57079632675     		φ = 0.82777628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99494201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.301758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82777628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.428087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53576 KachelY 22936 1.99494201 0.82777628 114.301758 47.428087
    Oben rechts KachelX + 1 53577 KachelY 22936 1.99503789 0.82777628 114.307251 47.428087
    Unten links KachelX 53576 KachelY + 1 22937 1.99494201 0.82771142 114.301758 47.424371
    Unten rechts KachelX + 1 53577 KachelY + 1 22937 1.99503789 0.82771142 114.307251 47.424371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82777628-0.82771142) × R
    6.48600000000554e-05 × 6371000     		dl = 413.223060000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82777628-0.82771142) × R
    6.48600000000554e-05 × 6371000     		dr = 413.223060000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99494201-1.99503789) × cos(0.82777628) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.676515042861209 × 6371000     		do = 413.250215174719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99494201-1.99503789) × cos(0.82771142) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.676562806211005 × 6371000     		du = 413.279391487632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82777628)-sin(0.82771142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676515042861209-0.676562806211005)×R²
    abs(1.99503789-1.99494201)×4.77633497966146e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.77633497966146e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.77633497966146e-05×40589641000000     		ar = 170770.546682884m²