Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53567 / 10949
↖ ↑ ↗
← N 81.644931°
W 32.873840°		 ← 44.38 m → N 81.644931°
W 32.871093°		 →
↑
44.34 m
↓
↑
44.34 m
↓
N 81.644533°
W 32.873840°		 ← 44.38 m →
1 968 m²		 N 81.644533°
W 32.871093°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408687591552734 y=0.0835380554199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408687591552734 × 217)
    floor (0.408687591552734 × 131072)
    floor (53567.5)     		tx = 53567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0835380554199219 × 217)
    floor (0.0835380554199219 × 131072)
    floor (10949.5)     		ty = 10949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53567 / 10949 ti = "17/53567/10949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53567/10949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53567 ÷ 217
    53567 ÷ 131072     		x = 0.408683776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10949 ÷ 217
    10949 ÷ 131072     		y = 0.0835342407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408683776855469 × 2 - 1) × π
    -0.182632446289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.57375675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0835342407226562 × 2 - 1) × π
    0.832931518554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.61673153956001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57375675} λ = -0.57375675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61673153956001))-π/2
    2×atan(13.690902204282)-π/2
    2×1.49788459922891-π/2
    2.99576919845782-1.57079632675     		φ = 1.42497287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57375675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.873840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42497287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.644931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53567 KachelY 10949 -0.57375675 1.42497287 -32.873840 81.644931
    Oben rechts KachelX + 1 53568 KachelY 10949 -0.57370881 1.42497287 -32.871093 81.644931
    Unten links KachelX 53567 KachelY + 1 10950 -0.57375675 1.42496591 -32.873840 81.644533
    Unten rechts KachelX + 1 53568 KachelY + 1 10950 -0.57370881 1.42496591 -32.871093 81.644533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42497287-1.42496591) × R
    6.95999999988928e-06 × 6371000     		dl = 44.3421599992946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42497287-1.42496591) × R
    6.95999999988928e-06 × 6371000     		dr = 44.3421599992946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57375675--0.57370881) × cos(1.42497287) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.145307195991433 × 6371000     		do = 44.380557863082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57375675--0.57370881) × cos(1.42496591) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.14531408211856 × 6371000     		du = 44.3826610635555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42497287)-sin(1.42496591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145307195991433-0.14531408211856)×R²
    abs(-0.57370881--0.57375675)×6.88612712679282e-06×R²
    4.79400000000796e-05×6.88612712679282e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×6.88612712679282e-06×40589641000000     		ar = 1967.9764277887m²