Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53556 / 85732
↖ ↑ ↗
← S 48.407326°
W 32.904053°		 ← 202.75 m → S 48.407326°
W 32.901306°		 →
↑
202.73 m
↓
↑
202.73 m
↓
S 48.409149°
W 32.904053°		 ← 202.74 m →
41 102 m²		 S 48.409149°
W 32.901306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408603668212891 y=0.654087066650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408603668212891 × 217)
    floor (0.408603668212891 × 131072)
    floor (53556.5)     		tx = 53556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654087066650391 × 217)
    floor (0.654087066650391 × 131072)
    floor (85732.5)     		ty = 85732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53556 / 85732 ti = "17/53556/85732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53556/85732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53556 ÷ 217
    53556 ÷ 131072     		x = 0.408599853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85732 ÷ 217
    85732 ÷ 131072     		y = 0.654083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408599853515625 × 2 - 1) × π
    -0.18280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57428406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.30816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.968133624726654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57428406} λ = -0.57428406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968133624726654))-π/2
    2×atan(0.379791209963917)-π/2
    2×0.36296455231773-π/2
    0.725929104635461-1.57079632675     		φ = -0.84486722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57428406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.904053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84486722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.407326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53556 KachelY 85732 -0.57428406 -0.84486722 -32.904053 -48.407326
    Oben rechts KachelX + 1 53557 KachelY 85732 -0.57423612 -0.84486722 -32.901306 -48.407326
    Unten links KachelX 53556 KachelY + 1 85733 -0.57428406 -0.84489904 -32.904053 -48.409149
    Unten rechts KachelX + 1 53557 KachelY + 1 85733 -0.57423612 -0.84489904 -32.901306 -48.409149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84486722--0.84489904) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dl = 202.7252200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84486722--0.84489904) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dr = 202.7252200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57428406--0.57423612) × cos(-0.84486722) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663830592239908 × 6371000     		do = 202.750949869379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57428406--0.57423612) × cos(-0.84489904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.663806794267568 × 6371000     		du = 202.743681356067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84486722)-sin(-0.84489904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663830592239908-0.663806794267568)×R²
    abs(-0.57423612--0.57428406)×2.37979723397563e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37979723397563e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37979723397563e-05×40589641000000     		ar = 41101.9941654522m²