Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53556 / 15236
↖ ↑ ↗
← N 79.747977°
W 32.904053°		 ← 54.36 m → N 79.747977°
W 32.901306°		 →
↑
54.34 m
↓
↑
54.34 m
↓
N 79.747488°
W 32.904053°		 ← 54.36 m →
2 954 m²		 N 79.747488°
W 32.901306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408603668212891 y=0.116245269775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408603668212891 × 217)
    floor (0.408603668212891 × 131072)
    floor (53556.5)     		tx = 53556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116245269775391 × 217)
    floor (0.116245269775391 × 131072)
    floor (15236.5)     		ty = 15236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53556 / 15236 ti = "17/53556/15236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53556/15236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53556 ÷ 217
    53556 ÷ 131072     		x = 0.408599853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15236 ÷ 217
    15236 ÷ 131072     		y = 0.116241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408599853515625 × 2 - 1) × π
    -0.18280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.57428406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116241455078125 × 2 - 1) × π
    0.76751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41122605088882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57428406} λ = -0.57428406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41122605088882))-π/2
    2×atan(11.1476203197339)-π/2
    2×1.48133054802221-π/2
    2.96266109604441-1.57079632675     		φ = 1.39186477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57428406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.904053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39186477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.747977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53556 KachelY 15236 -0.57428406 1.39186477 -32.904053 79.747977
    Oben rechts KachelX + 1 53557 KachelY 15236 -0.57423612 1.39186477 -32.901306 79.747977
    Unten links KachelX 53556 KachelY + 1 15237 -0.57428406 1.39185624 -32.904053 79.747488
    Unten rechts KachelX + 1 53557 KachelY + 1 15237 -0.57423612 1.39185624 -32.901306 79.747488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39186477-1.39185624) × R
    8.52999999989557e-06 × 6371000     		dl = 54.3446299993346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39186477-1.39185624) × R
    8.52999999989557e-06 × 6371000     		dr = 54.3446299993346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57428406--0.57423612) × cos(1.39186477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177978290329916 × 6371000     		do = 54.3591510279138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57428406--0.57423612) × cos(1.39185624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177986684136993 × 6371000     		du = 54.3617147126518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39186477)-sin(1.39185624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177978290329916-0.177986684136993)×R²
    abs(-0.57423612--0.57428406)×8.39380707728932e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.39380707728932e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.39380707728932e-06×40589641000000     		ar = 2954.19761099631m²