Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53554 / 21775
↖ ↑ ↗
← N 51.566827°
E114.180908°		 ← 379.67 m → N 51.566827°
E114.186401°		 →
↑
379.71 m
↓
↑
379.71 m
↓
N 51.563412°
E114.180908°		 ← 379.70 m →
144 169 m²		 N 51.563412°
E114.186401°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.817176818847656 y=0.332267761230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.817176818847656 × 216)
    floor (0.817176818847656 × 65536)
    floor (53554.5)     		tx = 53554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332267761230469 × 216)
    floor (0.332267761230469 × 65536)
    floor (21775.5)     		ty = 21775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53554 / 21775 ti = "16/53554/21775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53554/21775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53554 ÷ 216
    53554 ÷ 65536     		x = 0.817169189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21775 ÷ 216
    21775 ÷ 65536     		y = 0.332260131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.817169189453125 × 2 - 1) × π
    0.63433837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99283279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332260131835938 × 2 - 1) × π
    0.335479736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05394067504655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99283279} λ = 1.99283279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05394067504655))-π/2
    2×atan(2.86893440980754)-π/2
    2×1.23540362150117-π/2
    2.47080724300235-1.57079632675     		φ = 0.90001092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99283279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.180908°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90001092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.566827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53554 KachelY 21775 1.99283279 0.90001092 114.180908 51.566827
    Oben rechts KachelX + 1 53555 KachelY 21775 1.99292866 0.90001092 114.186401 51.566827
    Unten links KachelX 53554 KachelY + 1 21776 1.99283279 0.89995132 114.180908 51.563412
    Unten rechts KachelX + 1 53555 KachelY + 1 21776 1.99292866 0.89995132 114.186401 51.563412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90001092-0.89995132) × R
    5.96000000000485e-05 × 6371000     		dl = 379.711600000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90001092-0.89995132) × R
    5.96000000000485e-05 × 6371000     		dr = 379.711600000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99283279-1.99292866) × cos(0.90001092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621601414303749 × 6371000     		do = 379.666541671425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99283279-1.99292866) × cos(0.89995132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621648099888082 × 6371000     		du = 379.695056655371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90001092)-sin(0.89995132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621601414303749-0.621648099888082)×R²
    abs(1.99292866-1.99283279)×4.66855843332947e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66855843332947e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66855843332947e-05×40589641000000     		ar = 144169.203782367m²