Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53548 / 85718
↖ ↑ ↗
← S 48.381794°
W 32.926025°		 ← 202.81 m → S 48.381794°
W 32.923279°		 →
↑
202.85 m
↓
↑
202.85 m
↓
S 48.383618°
W 32.926025°		 ← 202.80 m →
41 140 m²		 S 48.383618°
W 32.923279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408542633056641 y=0.653980255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408542633056641 × 217)
    floor (0.408542633056641 × 131072)
    floor (53548.5)     		tx = 53548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653980255126953 × 217)
    floor (0.653980255126953 × 131072)
    floor (85718.5)     		ty = 85718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53548 / 85718 ti = "17/53548/85718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53548/85718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53548 ÷ 217
    53548 ÷ 131072     		x = 0.408538818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85718 ÷ 217
    85718 ÷ 131072     		y = 0.653976440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408538818359375 × 2 - 1) × π
    -0.18292236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57466755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653976440429688 × 2 - 1) × π
    -0.307952880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.967462508131973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57466755} λ = -0.57466755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967462508131973))-π/2
    2×atan(0.380046179695077)-π/2
    2×0.363187362084363-π/2
    0.726374724168726-1.57079632675     		φ = -0.84442160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57466755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.926025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84442160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.381794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53548 KachelY 85718 -0.57466755 -0.84442160 -32.926025 -48.381794
    Oben rechts KachelX + 1 53549 KachelY 85718 -0.57461962 -0.84442160 -32.923279 -48.381794
    Unten links KachelX 53548 KachelY + 1 85719 -0.57466755 -0.84445344 -32.926025 -48.383618
    Unten rechts KachelX + 1 53549 KachelY + 1 85719 -0.57461962 -0.84445344 -32.923279 -48.383618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84442160--0.84445344) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dl = 202.852640000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84442160--0.84445344) × R
    3.18400000000052e-05 × 6371000     		dr = 202.852640000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57466755--0.57461962) × cos(-0.84442160) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.664163797929546 × 6371000     		do = 202.8104055884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57466755--0.57461962) × cos(-0.84445344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.664139994420107 × 6371000     		du = 202.803136900437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84442160)-sin(-0.84445344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664163797929546-0.664139994420107)×R²
    abs(-0.57461962--0.57466755)×2.3803509439202e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3803509439202e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3803509439202e-05×40589641000000     		ar = 41139.888960465m²