Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53542 / 22838
↖ ↑ ↗
← N 47.791016°
E114.114990°		 ← 410.35 m → N 47.791016°
E114.120483°		 →
↑
410.42 m
↓
↑
410.42 m
↓
N 47.787325°
E114.114990°		 ← 410.38 m →
168 422 m²		 N 47.787325°
E114.120483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816993713378906 y=0.348487854003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816993713378906 × 216)
    floor (0.816993713378906 × 65536)
    floor (53542.5)     		tx = 53542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348487854003906 × 216)
    floor (0.348487854003906 × 65536)
    floor (22838.5)     		ty = 22838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53542 / 22838 ti = "16/53542/22838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53542/22838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53542 ÷ 216
    53542 ÷ 65536     		x = 0.816986083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22838 ÷ 216
    22838 ÷ 65536     		y = 0.348480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816986083984375 × 2 - 1) × π
    0.63397216796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99168231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348480224609375 × 2 - 1) × π
    0.30303955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.952026826454315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99168231} λ = 1.99168231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952026826454315))-π/2
    2×atan(2.59095575872713)-π/2
    2×1.20245345598059-π/2
    2.40490691196118-1.57079632675     		φ = 0.83411059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99168231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.114990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83411059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.791016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53542 KachelY 22838 1.99168231 0.83411059 114.114990 47.791016
    Oben rechts KachelX + 1 53543 KachelY 22838 1.99177818 0.83411059 114.120483 47.791016
    Unten links KachelX 53542 KachelY + 1 22839 1.99168231 0.83404617 114.114990 47.787325
    Unten rechts KachelX + 1 53543 KachelY + 1 22839 1.99177818 0.83404617 114.120483 47.787325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83411059-0.83404617) × R
    6.4419999999954e-05 × 6371000     		dl = 410.419819999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83411059-0.83404617) × R
    6.4419999999954e-05 × 6371000     		dr = 410.419819999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99168231-1.99177818) × cos(0.83411059) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671836733635827 × 6371000     		do = 410.349660341502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99168231-1.99177818) × cos(0.83404617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6718844480885 × 6371000     		du = 410.378803745647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83411059)-sin(0.83404617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671836733635827-0.6718844480885)×R²
    abs(1.99177818-1.99168231)×4.77144526725981e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77144526725981e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77144526725981e-05×40589641000000     		ar = 168421.61430808m²