Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53541 / 22831
↖ ↑ ↗
← N 47.816843°
E114.109497°		 ← 410.19 m → N 47.816843°
E114.114990°		 →
↑
410.16 m
↓
↑
410.16 m
↓
N 47.813154°
E114.109497°		 ← 410.22 m →
168 251 m²		 N 47.813154°
E114.114990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816978454589844 y=0.348381042480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816978454589844 × 216)
    floor (0.816978454589844 × 65536)
    floor (53541.5)     		tx = 53541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348381042480469 × 216)
    floor (0.348381042480469 × 65536)
    floor (22831.5)     		ty = 22831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53541 / 22831 ti = "16/53541/22831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53541/22831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53541 ÷ 216
    53541 ÷ 65536     		x = 0.816970825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22831 ÷ 216
    22831 ÷ 65536     		y = 0.348373413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816970825195312 × 2 - 1) × π
    0.633941650390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99158643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348373413085938 × 2 - 1) × π
    0.303253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.952697943048996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99158643} λ = 1.99158643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952697943048996))-π/2
    2×atan(2.59269517574343)-π/2
    2×1.20267884034116-π/2
    2.40535768068232-1.57079632675     		φ = 0.83456135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99158643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.109497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83456135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.816843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53541 KachelY 22831 1.99158643 0.83456135 114.109497 47.816843
    Oben rechts KachelX + 1 53542 KachelY 22831 1.99168231 0.83456135 114.114990 47.816843
    Unten links KachelX 53541 KachelY + 1 22832 1.99158643 0.83449697 114.109497 47.813154
    Unten rechts KachelX + 1 53542 KachelY + 1 22832 1.99168231 0.83449697 114.114990 47.813154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83456135-0.83449697) × R
    6.4379999999975e-05 × 6371000     		dl = 410.164979999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83456135-0.83449697) × R
    6.4379999999975e-05 × 6371000     		dr = 410.164979999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99158643-1.99168231) × cos(0.83456135) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.671502787792353 × 6371000     		do = 410.188471747766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99158643-1.99168231) × cos(0.83449697) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.671550492111287 × 6371000     		du = 410.217612001589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83456135)-sin(0.83449697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671502787792353-0.671550492111287)×R²
    abs(1.99168231-1.99158643)×4.770431893375e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.770431893375e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.770431893375e-05×40589641000000     		ar = 168250.922524466m²