Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53540 / 22821
↖ ↑ ↗
← N 47.853717°
E114.104004°		 ← 409.85 m → N 47.853717°
E114.109497°		 →
↑
409.91 m
↓
↑
409.91 m
↓
N 47.850031°
E114.104004°		 ← 409.88 m →
168 009 m²		 N 47.850031°
E114.109497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816963195800781 y=0.348228454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816963195800781 × 216)
    floor (0.816963195800781 × 65536)
    floor (53540.5)     		tx = 53540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348228454589844 × 216)
    floor (0.348228454589844 × 65536)
    floor (22821.5)     		ty = 22821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53540 / 22821 ti = "16/53540/22821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53540/22821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53540 ÷ 216
    53540 ÷ 65536     		x = 0.81695556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22821 ÷ 216
    22821 ÷ 65536     		y = 0.348220825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81695556640625 × 2 - 1) × π
    0.6339111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.99149056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348220825195312 × 2 - 1) × π
    0.303558349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.953656681041397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99149056} λ = 1.99149056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953656681041397))-π/2
    2×atan(2.5951820830669)-π/2
    2×1.20300062361962-π/2
    2.40600124723923-1.57079632675     		φ = 0.83520492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99149056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.104004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83520492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.853717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53540 KachelY 22821 1.99149056 0.83520492 114.104004 47.853717
    Oben rechts KachelX + 1 53541 KachelY 22821 1.99158643 0.83520492 114.109497 47.853717
    Unten links KachelX 53540 KachelY + 1 22822 1.99149056 0.83514058 114.104004 47.850031
    Unten rechts KachelX + 1 53541 KachelY + 1 22822 1.99158643 0.83514058 114.109497 47.850031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83520492-0.83514058) × R
    6.43399999999961e-05 × 6371000     		dl = 409.910139999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83520492-0.83514058) × R
    6.43399999999961e-05 × 6371000     		dr = 409.910139999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99149056-1.99158643) × cos(0.83520492) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671025762087606 × 6371000     		do = 409.854328838031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99149056-1.99158643) × cos(0.83514058) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671073464564413 × 6371000     		du = 409.883464927463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83520492)-sin(0.83514058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671025762087606-0.671073464564413)×R²
    abs(1.99158643-1.99149056)×4.77024768067436e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77024768067436e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77024768067436e-05×40589641000000     		ar = 168009.416960731m²