Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53533 / 50483
↖ ↑ ↗
← S 69.261985°
E114.065552°		 ← 216.30 m → S 69.261985°
E114.071045°		 →
↑
216.30 m
↓
↑
216.30 m
↓
S 69.263930°
E114.065552°		 ← 216.28 m →
46 783 m²		 S 69.263930°
E114.071045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816856384277344 y=0.770317077636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816856384277344 × 216)
    floor (0.816856384277344 × 65536)
    floor (53533.5)     		tx = 53533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770317077636719 × 216)
    floor (0.770317077636719 × 65536)
    floor (50483.5)     		ty = 50483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53533 / 50483 ti = "16/53533/50483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53533/50483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53533 ÷ 216
    53533 ÷ 65536     		x = 0.816848754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50483 ÷ 216
    50483 ÷ 65536     		y = 0.770309448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816848754882812 × 2 - 1) × π
    0.633697509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99081944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770309448242188 × 2 - 1) × π
    -0.540618896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69840435353859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99081944} λ = 1.99081944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69840435353859))-π/2
    2×atan(0.182975255059324)-π/2
    2×0.180973318176435-π/2
    0.361946636352869-1.57079632675     		φ = -1.20884969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99081944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.065552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20884969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.261985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53533 KachelY 50483 1.99081944 -1.20884969 114.065552 -69.261985
    Oben rechts KachelX + 1 53534 KachelY 50483 1.99091532 -1.20884969 114.071045 -69.261985
    Unten links KachelX 53533 KachelY + 1 50484 1.99081944 -1.20888364 114.065552 -69.263930
    Unten rechts KachelX + 1 53534 KachelY + 1 50484 1.99091532 -1.20888364 114.071045 -69.263930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20884969--1.20888364) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dl = 216.295449999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20884969--1.20888364) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dr = 216.295449999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99081944-1.99091532) × cos(-1.20884969) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.354095415864804 × 6371000     		do = 216.299708842089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99081944-1.99091532) × cos(-1.20888364) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.35406366530498 × 6371000     		du = 216.28031396563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20884969)-sin(-1.20888364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354095415864804-0.35406366530498)×R²
    abs(1.99091532-1.99081944)×3.17505598245726e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.17505598245726e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.17505598245726e-05×40589641000000     		ar = 46782.5453519181m²