Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53533 / 22749
↖ ↑ ↗
← N 48.118434°
E114.065552°		 ← 407.80 m → N 48.118434°
E114.071045°		 →
↑
407.74 m
↓
↑
407.74 m
↓
N 48.114767°
E114.065552°		 ← 407.83 m →
166 284 m²		 N 48.114767°
E114.071045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816856384277344 y=0.347129821777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816856384277344 × 216)
    floor (0.816856384277344 × 65536)
    floor (53533.5)     		tx = 53533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347129821777344 × 216)
    floor (0.347129821777344 × 65536)
    floor (22749.5)     		ty = 22749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53533 / 22749 ti = "16/53533/22749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53533/22749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53533 ÷ 216
    53533 ÷ 65536     		x = 0.816848754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22749 ÷ 216
    22749 ÷ 65536     		y = 0.347122192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816848754882812 × 2 - 1) × π
    0.633697509765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99081944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347122192382812 × 2 - 1) × π
    0.305755615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.960559594586685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99081944} λ = 1.99081944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960559594586685))-π/2
    2×atan(2.61315837362928)-π/2
    2×1.20531071514901-π/2
    2.41062143029802-1.57079632675     		φ = 0.83982510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99081944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.065552°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83982510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.118434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53533 KachelY 22749 1.99081944 0.83982510 114.065552 48.118434
    Oben rechts KachelX + 1 53534 KachelY 22749 1.99091532 0.83982510 114.071045 48.118434
    Unten links KachelX 53533 KachelY + 1 22750 1.99081944 0.83976110 114.065552 48.114767
    Unten rechts KachelX + 1 53534 KachelY + 1 22750 1.99091532 0.83976110 114.071045 48.114767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83982510-0.83976110) × R
    6.3999999999953e-05 × 6371000     		dl = 407.7439999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83982510-0.83976110) × R
    6.3999999999953e-05 × 6371000     		dr = 407.7439999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99081944-1.99091532) × cos(0.83982510) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.66759305371348 × 6371000     		do = 407.800204898331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99081944-1.99091532) × cos(0.83976110) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.667640702033854 × 6371000     		du = 407.829310945351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83982510)-sin(0.83976110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66759305371348-0.667640702033854)×R²
    abs(1.99091532-1.99081944)×4.76483203742939e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.76483203742939e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.76483203742939e-05×40589641000000     		ar = 166284.020710461m²