Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53532 / 85725
↖ ↑ ↗
← S 48.394562°
W 32.969971°		 ← 202.76 m → S 48.394562°
W 32.967224°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
S 48.396385°
W 32.969971°		 ← 202.75 m →
41 117 m²		 S 48.396385°
W 32.967224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408420562744141 y=0.654033660888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408420562744141 × 217)
    floor (0.408420562744141 × 131072)
    floor (53532.5)     		tx = 53532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654033660888672 × 217)
    floor (0.654033660888672 × 131072)
    floor (85725.5)     		ty = 85725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53532 / 85725 ti = "17/53532/85725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53532/85725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53532 ÷ 217
    53532 ÷ 131072     		x = 0.408416748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85725 ÷ 217
    85725 ÷ 131072     		y = 0.654029846191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.18316650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57543454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654029846191406 × 2 - 1) × π
    -0.308059692382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.967798066429314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57543454} λ = -0.57543454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.967798066429314))-π/2
    2×atan(0.379918673440195)-π/2
    2×0.363075943224819-π/2
    0.726151886449639-1.57079632675     		φ = -0.84464444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57543454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.969971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84464444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.394562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53532 KachelY 85725 -0.57543454 -0.84464444 -32.969971 -48.394562
    Oben rechts KachelX + 1 53533 KachelY 85725 -0.57538661 -0.84464444 -32.967224 -48.394562
    Unten links KachelX 53532 KachelY + 1 85726 -0.57543454 -0.84467627 -32.969971 -48.396385
    Unten rechts KachelX + 1 53533 KachelY + 1 85726 -0.57538661 -0.84467627 -32.967224 -48.396385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84464444--0.84467627) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dl = 202.788929999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84464444--0.84467627) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dr = 202.788929999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57543454--0.57538661) × cos(-0.84464444) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663997189134512 × 6371000     		do = 202.759529588533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57543454--0.57538661) × cos(-0.84467627) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663973388390918 × 6371000     		du = 202.752261745153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84464444)-sin(-0.84467627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663997189134512-0.663973388390918)×R²
    abs(-0.57538661--0.57543454)×2.38007435936494e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38007435936494e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38007435936494e-05×40589641000000     		ar = 41116.6511370123m²