Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53531 / 22829
↖ ↑ ↗
← N 47.824220°
E114.054565°		 ← 410.13 m → N 47.824220°
E114.060059°		 →
↑
410.10 m
↓
↑
410.10 m
↓
N 47.820532°
E114.054565°		 ← 410.16 m →
168 201 m²		 N 47.820532°
E114.060059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816825866699219 y=0.348350524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816825866699219 × 216)
    floor (0.816825866699219 × 65536)
    floor (53531.5)     		tx = 53531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348350524902344 × 216)
    floor (0.348350524902344 × 65536)
    floor (22829.5)     		ty = 22829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53531 / 22829 ti = "16/53531/22829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53531/22829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53531 ÷ 216
    53531 ÷ 65536     		x = 0.816818237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22829 ÷ 216
    22829 ÷ 65536     		y = 0.348342895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816818237304688 × 2 - 1) × π
    0.633636474609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.99062769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348342895507812 × 2 - 1) × π
    0.303314208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.952889690647476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99062769} λ = 1.99062769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952889690647476))-π/2
    2×atan(2.59319236648301)-π/2
    2×1.20274321529069-π/2
    2.40548643058139-1.57079632675     		φ = 0.83469010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99062769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.054565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83469010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.824220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53531 KachelY 22829 1.99062769 0.83469010 114.054565 47.824220
    Oben rechts KachelX + 1 53532 KachelY 22829 1.99072357 0.83469010 114.060059 47.824220
    Unten links KachelX 53531 KachelY + 1 22830 1.99062769 0.83462573 114.054565 47.820532
    Unten rechts KachelX + 1 53532 KachelY + 1 22830 1.99072357 0.83462573 114.060059 47.820532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83469010-0.83462573) × R
    6.43700000000358e-05 × 6371000     		dl = 410.101270000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83469010-0.83462573) × R
    6.43700000000358e-05 × 6371000     		dr = 410.101270000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99062769-1.99072357) × cos(0.83469010) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.671407378215865 × 6371000     		do = 410.130190666762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99062769-1.99072357) × cos(0.83462573) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.671455080690185 × 6371000     		du = 410.1593297938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83469010)-sin(0.83462573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671407378215865-0.671455080690185)×R²
    abs(1.99072357-1.99062769)×4.7702474319733e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.7702474319733e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.7702474319733e-05×40589641000000     		ar = 168200.887112512m²