Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53528 / 50454
↖ ↑ ↗
← S 69.205504°
E114.038086°		 ← 216.86 m → S 69.205504°
E114.043579°		 →
↑
216.87 m
↓
↑
216.87 m
↓
S 69.207454°
E114.038086°		 ← 216.84 m →
47 029 m²		 S 69.207454°
E114.043579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816780090332031 y=0.769874572753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816780090332031 × 216)
    floor (0.816780090332031 × 65536)
    floor (53528.5)     		tx = 53528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769874572753906 × 216)
    floor (0.769874572753906 × 65536)
    floor (50454.5)     		ty = 50454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53528 / 50454 ti = "16/53528/50454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53528/50454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53528 ÷ 216
    53528 ÷ 65536     		x = 0.8167724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50454 ÷ 216
    50454 ÷ 65536     		y = 0.769866943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8167724609375 × 2 - 1) × π
    0.633544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.99034007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769866943359375 × 2 - 1) × π
    -0.53973388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.69562401336063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99034007} λ = 1.99034007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69562401336063))-π/2
    2×atan(0.183484696394467)-π/2
    2×0.181466211484849-π/2
    0.362932422969698-1.57079632675     		φ = -1.20786390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99034007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.038086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20786390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.205504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53528 KachelY 50454 1.99034007 -1.20786390 114.038086 -69.205504
    Oben rechts KachelX + 1 53529 KachelY 50454 1.99043595 -1.20786390 114.043579 -69.205504
    Unten links KachelX 53528 KachelY + 1 50455 1.99034007 -1.20789794 114.038086 -69.207454
    Unten rechts KachelX + 1 53529 KachelY + 1 50455 1.99043595 -1.20789794 114.043579 -69.207454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20786390--1.20789794) × R
    3.40400000000685e-05 × 6371000     		dl = 216.868840000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20786390--1.20789794) × R
    3.40400000000685e-05 × 6371000     		dr = 216.868840000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99034007-1.99043595) × cos(-1.20786390) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.355017163640459 × 6371000     		do = 216.862759835034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99034007-1.99043595) × cos(-1.20789794) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.354985340807775 × 6371000     		du = 216.843320810592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20786390)-sin(-1.20789794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355017163640459-0.354985340807775)×R²
    abs(1.99043595-1.99034007)×3.18228326839365e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.18228326839365e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.18228326839365e-05×40589641000000     		ar = 47028.6673098638m²