Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53526 / 15219
↖ ↑ ↗
← N 79.756284°
W 32.986450°		 ← 54.30 m → N 79.756284°
W 32.983704°		 →
↑
54.28 m
↓
↑
54.28 m
↓
N 79.755796°
W 32.986450°		 ← 54.31 m →
2 948 m²		 N 79.755796°
W 32.983704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408374786376953 y=0.116115570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408374786376953 × 217)
    floor (0.408374786376953 × 131072)
    floor (53526.5)     		tx = 53526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116115570068359 × 217)
    floor (0.116115570068359 × 131072)
    floor (15219.5)     		ty = 15219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53526 / 15219 ti = "17/53526/15219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53526/15219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53526 ÷ 217
    53526 ÷ 131072     		x = 0.408370971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15219 ÷ 217
    15219 ÷ 131072     		y = 0.116111755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408370971679688 × 2 - 1) × π
    -0.183258056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.57572216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116111755371094 × 2 - 1) × π
    0.767776489257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.41204097818237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57572216} λ = -0.57572216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41204097818237))-π/2
    2×atan(11.1567085223998)-π/2
    2×1.48140303863588-π/2
    2.96280607727177-1.57079632675     		φ = 1.39200975
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57572216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.986450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39200975 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.756284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53526 KachelY 15219 -0.57572216 1.39200975 -32.986450 79.756284
    Oben rechts KachelX + 1 53527 KachelY 15219 -0.57567423 1.39200975 -32.983704 79.756284
    Unten links KachelX 53526 KachelY + 1 15220 -0.57572216 1.39200123 -32.986450 79.755796
    Unten rechts KachelX + 1 53527 KachelY + 1 15220 -0.57567423 1.39200123 -32.983704 79.755796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39200975-1.39200123) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dl = 54.2809199997218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39200975-1.39200123) × R
    8.51999999995634e-06 × 6371000     		dr = 54.2809199997218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57572216--0.57567423) × cos(1.39200975) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177835623150576 × 6371000     		do = 54.3042468916082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57572216--0.57567423) × cos(1.39200123) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.177844007337086 × 6371000     		du = 54.3068071038207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39200975)-sin(1.39200123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177835623150576-0.177844007337086)×R²
    abs(-0.57567423--0.57572216)×8.38418650953021e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.38418650953021e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.38418650953021e-06×40589641000000     		ar = 2947.75396645374m²