Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53525 / 50469
↖ ↑ ↗
← S 69.234737°
E114.021606°		 ← 216.55 m → S 69.234737°
E114.027099°		 →
↑
216.55 m
↓
↑
216.55 m
↓
S 69.236684°
E114.021606°		 ← 216.53 m →
46 892 m²		 S 69.236684°
E114.027099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816734313964844 y=0.770103454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816734313964844 × 216)
    floor (0.816734313964844 × 65536)
    floor (53525.5)     		tx = 53525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770103454589844 × 216)
    floor (0.770103454589844 × 65536)
    floor (50469.5)     		ty = 50469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53525 / 50469 ti = "16/53525/50469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53525/50469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53525 ÷ 216
    53525 ÷ 65536     		x = 0.816726684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50469 ÷ 216
    50469 ÷ 65536     		y = 0.770095825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816726684570312 × 2 - 1) × π
    0.633453369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99005245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770095825195312 × 2 - 1) × π
    -0.540191650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69706212034923
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99005245} λ = 1.99005245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69706212034923))-π/2
    2×atan(0.183221015416454)-π/2
    2×0.181211106689936-π/2
    0.362422213379872-1.57079632675     		φ = -1.20837411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99005245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.021606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20837411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.234737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53525 KachelY 50469 1.99005245 -1.20837411 114.021606 -69.234737
    Oben rechts KachelX + 1 53526 KachelY 50469 1.99014832 -1.20837411 114.027099 -69.234737
    Unten links KachelX 53525 KachelY + 1 50470 1.99005245 -1.20840810 114.021606 -69.236684
    Unten rechts KachelX + 1 53526 KachelY + 1 50470 1.99014832 -1.20840810 114.027099 -69.236684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20837411--1.20840810) × R
    3.39899999999282e-05 × 6371000     		dl = 216.550289999543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20837411--1.20840810) × R
    3.39899999999282e-05 × 6371000     		dr = 216.550289999543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99005245-1.99014832) × cos(-1.20837411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354540142643353 × 6371000     		do = 216.548783100611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99005245-1.99014832) × cos(-1.20840810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354508360401952 × 6371000     		du = 216.52937089626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20837411)-sin(-1.20840810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354540142643353-0.354508360401952)×R²
    abs(1.99014832-1.99005245)×3.17822414002689e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17822414002689e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17822414002689e-05×40589641000000     		ar = 46891.5999247752m²