Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53524 / 50443
↖ ↑ ↗
← S 69.184041°
E114.016113°		 ← 217.05 m → S 69.184041°
E114.021606°		 →
↑
217.06 m
↓
↑
217.06 m
↓
S 69.185993°
E114.016113°		 ← 217.03 m →
47 112 m²		 S 69.185993°
E114.021606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816719055175781 y=0.769706726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816719055175781 × 216)
    floor (0.816719055175781 × 65536)
    floor (53524.5)     		tx = 53524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769706726074219 × 216)
    floor (0.769706726074219 × 65536)
    floor (50443.5)     		ty = 50443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53524 / 50443 ti = "16/53524/50443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53524/50443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53524 ÷ 216
    53524 ÷ 65536     		x = 0.81671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50443 ÷ 216
    50443 ÷ 65536     		y = 0.769699096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81671142578125 × 2 - 1) × π
    0.6334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98995658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769699096679688 × 2 - 1) × π
    -0.539398193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69456940156898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98995658} λ = 1.98995658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69456940156898))-π/2
    2×atan(0.183678303591142)-π/2
    2×0.181653506435291-π/2
    0.363307012870583-1.57079632675     		φ = -1.20748931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98995658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.016113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20748931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.184041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53524 KachelY 50443 1.98995658 -1.20748931 114.016113 -69.184041
    Oben rechts KachelX + 1 53525 KachelY 50443 1.99005245 -1.20748931 114.021606 -69.184041
    Unten links KachelX 53524 KachelY + 1 50444 1.98995658 -1.20752338 114.016113 -69.185993
    Unten rechts KachelX + 1 53525 KachelY + 1 50444 1.99005245 -1.20752338 114.021606 -69.185993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20748931--1.20752338) × R
    3.40700000001082e-05 × 6371000     		dl = 217.059970000689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20748931--1.20752338) × R
    3.40700000001082e-05 × 6371000     		dr = 217.059970000689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98995658-1.99005245) × cos(-1.20748931) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355367327850723 × 6371000     		do = 217.054017708797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98995658-1.99005245) × cos(-1.20752338) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355335481504743 × 6371000     		du = 217.034566350154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20748931)-sin(-1.20752338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355367327850723-0.355335481504743)×R²
    abs(1.99005245-1.98995658)×3.18463459799689e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18463459799689e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18463459799689e-05×40589641000000     		ar = 47111.6275210874m²