Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53522 / 50441
↖ ↑ ↗
← S 69.180137°
E114.005127°		 ← 217.09 m → S 69.180137°
E114.010620°		 →
↑
217.06 m
↓
↑
217.06 m
↓
S 69.182089°
E114.005127°		 ← 217.07 m →
47 120 m²		 S 69.182089°
E114.010620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816688537597656 y=0.769676208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816688537597656 × 216)
    floor (0.816688537597656 × 65536)
    floor (53522.5)     		tx = 53522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769676208496094 × 216)
    floor (0.769676208496094 × 65536)
    floor (50441.5)     		ty = 50441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53522 / 50441 ti = "16/53522/50441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53522/50441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53522 ÷ 216
    53522 ÷ 65536     		x = 0.816680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50441 ÷ 216
    50441 ÷ 65536     		y = 0.769668579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816680908203125 × 2 - 1) × π
    0.63336181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98976483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769668579101562 × 2 - 1) × π
    -0.539337158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.6943776539705
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98976483} λ = 1.98976483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6943776539705))-π/2
    2×atan(0.183713526841628)-π/2
    2×0.18168757990419-π/2
    0.36337515980838-1.57079632675     		φ = -1.20742117
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98976483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.005127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20742117 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.180137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53522 KachelY 50441 1.98976483 -1.20742117 114.005127 -69.180137
    Oben rechts KachelX + 1 53523 KachelY 50441 1.98986070 -1.20742117 114.010620 -69.180137
    Unten links KachelX 53522 KachelY + 1 50442 1.98976483 -1.20745524 114.005127 -69.182089
    Unten rechts KachelX + 1 53523 KachelY + 1 50442 1.98986070 -1.20745524 114.010620 -69.182089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20742117--1.20745524) × R
    3.40700000001082e-05 × 6371000     		dl = 217.059970000689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20742117--1.20745524) × R
    3.40700000001082e-05 × 6371000     		dr = 217.059970000689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98976483-1.98986070) × cos(-1.20742117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355431019305152 × 6371000     		do = 217.092919670216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98976483-1.98986070) × cos(-1.20745524) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355399173784205 × 6371000     		du = 217.073468815492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20742117)-sin(-1.20745524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355431019305152-0.355399173784205)×R²
    abs(1.98986070-1.98976483)×3.18455209470936e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18455209470936e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18455209470936e-05×40589641000000     		ar = 47120.0716346095m²