Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53521 / 50463
↖ ↑ ↗
← S 69.223048°
E113.999634°		 ← 216.67 m → S 69.223048°
E114.005127°		 →
↑
216.68 m
↓
↑
216.68 m
↓
S 69.224997°
E113.999634°		 ← 216.65 m →
46 944 m²		 S 69.224997°
E114.005127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816673278808594 y=0.770011901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816673278808594 × 216)
    floor (0.816673278808594 × 65536)
    floor (53521.5)     		tx = 53521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.770011901855469 × 216)
    floor (0.770011901855469 × 65536)
    floor (50463.5)     		ty = 50463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53521 / 50463 ti = "16/53521/50463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53521/50463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53521 ÷ 216
    53521 ÷ 65536     		x = 0.816665649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50463 ÷ 216
    50463 ÷ 65536     		y = 0.770004272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816665649414062 × 2 - 1) × π
    0.633331298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98966896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.770004272460938 × 2 - 1) × π
    -0.540008544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.69648687755379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98966896} λ = 1.98966896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69648687755379))-π/2
    2×atan(0.183326442305667)-π/2
    2×0.18131310744908-π/2
    0.36262621489816-1.57079632675     		φ = -1.20817011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98966896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.999634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20817011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.223048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53521 KachelY 50463 1.98966896 -1.20817011 113.999634 -69.223048
    Oben rechts KachelX + 1 53522 KachelY 50463 1.98976483 -1.20817011 114.005127 -69.223048
    Unten links KachelX 53521 KachelY + 1 50464 1.98966896 -1.20820412 113.999634 -69.224997
    Unten rechts KachelX + 1 53522 KachelY + 1 50464 1.98976483 -1.20820412 114.005127 -69.224997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20817011--1.20820412) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dl = 216.677710000183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20817011--1.20820412) × R
    3.40100000000287e-05 × 6371000     		dr = 216.677710000183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98966896-1.98976483) × cos(-1.20817011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354730883586823 × 6371000     		do = 216.66528533612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98966896-1.98976483) × cos(-1.20820412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354699085104731 × 6371000     		du = 216.645863212154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20817011)-sin(-1.20820412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354730883586823-0.354699085104731)×R²
    abs(1.98976483-1.98966896)×3.17984820922823e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17984820922823e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17984820922823e-05×40589641000000     		ar = 46944.433697057m²