Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53520 / 11024
↖ ↑ ↗
← N 81.614946°
W 33.002930°		 ← 44.54 m → N 81.614946°
W 33.000183°		 →
↑
44.53 m
↓
↑
44.53 m
↓
N 81.614545°
W 33.002930°		 ← 44.54 m →
1 984 m²		 N 81.614545°
W 33.000183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408329010009766 y=0.0841102600097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408329010009766 × 217)
    floor (0.408329010009766 × 131072)
    floor (53520.5)     		tx = 53520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0841102600097656 × 217)
    floor (0.0841102600097656 × 131072)
    floor (11024.5)     		ty = 11024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53520 / 11024 ti = "17/53520/11024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53520/11024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53520 ÷ 217
    53520 ÷ 131072     		x = 0.4083251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11024 ÷ 217
    11024 ÷ 131072     		y = 0.0841064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.183349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57600979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0841064453125 × 2 - 1) × π
    0.831787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.6131362720885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57600979} λ = -0.57600979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6131362720885))-π/2
    2×atan(13.6417681269318)-π/2
    2×1.4976229250002-π/2
    2.99524585000041-1.57079632675     		φ = 1.42444952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57600979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42444952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.614946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53520 KachelY 11024 -0.57600979 1.42444952 -33.002930 81.614946
    Oben rechts KachelX + 1 53521 KachelY 11024 -0.57596185 1.42444952 -33.000183 81.614946
    Unten links KachelX 53520 KachelY + 1 11025 -0.57600979 1.42444253 -33.002930 81.614545
    Unten rechts KachelX + 1 53521 KachelY + 1 11025 -0.57596185 1.42444253 -33.000183 81.614545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42444952-1.42444253) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dl = 44.5332899995476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42444952-1.42444253) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dr = 44.5332899995476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57600979--0.57596185) × cos(1.42444952) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145824971538697 × 6371000     		do = 44.5386998426564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57600979--0.57596185) × cos(1.42444253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145831886814866 × 6371000     		du = 44.5408119459976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42444952)-sin(1.42444253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145824971538697-0.145831886814866)×R²
    abs(-0.57596185--0.57600979)×6.91527616913934e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.91527616913934e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.91527616913934e-06×40589641000000     		ar = 1983.5018657665m²