Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53518 / 15187
↖ ↑ ↗
← N 79.771902°
W 33.008423°		 ← 54.23 m → N 79.771902°
W 33.005676°		 →
↑
54.22 m
↓
↑
54.22 m
↓
N 79.771414°
W 33.008423°		 ← 54.24 m →
2 940 m²		 N 79.771414°
W 33.005676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408313751220703 y=0.115871429443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408313751220703 × 217)
    floor (0.408313751220703 × 131072)
    floor (53518.5)     		tx = 53518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115871429443359 × 217)
    floor (0.115871429443359 × 131072)
    floor (15187.5)     		ty = 15187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53518 / 15187 ti = "17/53518/15187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53518/15187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53518 ÷ 217
    53518 ÷ 131072     		x = 0.408309936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15187 ÷ 217
    15187 ÷ 131072     		y = 0.115867614746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408309936523438 × 2 - 1) × π
    -0.183380126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.57610566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115867614746094 × 2 - 1) × π
    0.768264770507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.41357495897021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57610566} λ = -0.57610566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41357495897021))-π/2
    2×atan(11.1738358320521)-π/2
    2×1.48153933395171-π/2
    2.96307866790342-1.57079632675     		φ = 1.39228234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57610566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.008423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39228234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.771902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53518 KachelY 15187 -0.57610566 1.39228234 -33.008423 79.771902
    Oben rechts KachelX + 1 53519 KachelY 15187 -0.57605772 1.39228234 -33.005676 79.771902
    Unten links KachelX 53518 KachelY + 1 15188 -0.57610566 1.39227383 -33.008423 79.771414
    Unten rechts KachelX + 1 53519 KachelY + 1 15188 -0.57605772 1.39227383 -33.005676 79.771414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39228234-1.39227383) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dl = 54.217210000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39228234-1.39227383) × R
    8.51000000001711e-06 × 6371000     		dr = 54.217210000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57610566--0.57605772) × cos(1.39228234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177567371574988 × 6371000     		do = 54.23364586311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57610566--0.57605772) × cos(1.39227383) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.177575746333142 × 6371000     		du = 54.2362037298165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39228234)-sin(1.39227383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177567371574988-0.177575746333142)×R²
    abs(-0.57605772--0.57610566)×8.37475815379518e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.37475815379518e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.37475815379518e-06×40589641000000     		ar = 2940.46630709624m²