Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53515 / 22801
↖ ↑ ↗
← N 47.927386°
E113.966675°		 ← 409.31 m → N 47.927386°
E113.972168°		 →
↑
409.27 m
↓
↑
409.27 m
↓
N 47.923705°
E113.966675°		 ← 409.34 m →
167 527 m²		 N 47.923705°
E113.972168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816581726074219 y=0.347923278808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816581726074219 × 216)
    floor (0.816581726074219 × 65536)
    floor (53515.5)     		tx = 53515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347923278808594 × 216)
    floor (0.347923278808594 × 65536)
    floor (22801.5)     		ty = 22801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53515 / 22801 ti = "16/53515/22801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53515/22801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53515 ÷ 216
    53515 ÷ 65536     		x = 0.816574096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22801 ÷ 216
    22801 ÷ 65536     		y = 0.347915649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816574096679688 × 2 - 1) × π
    0.633148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98909371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347915649414062 × 2 - 1) × π
    0.304168701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.955574157026199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98909371} λ = 1.98909371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.955574157026199))-π/2
    2×atan(2.60016305630952)-π/2
    2×1.2036435042398-π/2
    2.4072870084796-1.57079632675     		φ = 0.83649068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98909371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.966675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83649068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.927386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53515 KachelY 22801 1.98909371 0.83649068 113.966675 47.927386
    Oben rechts KachelX + 1 53516 KachelY 22801 1.98918959 0.83649068 113.972168 47.927386
    Unten links KachelX 53515 KachelY + 1 22802 1.98909371 0.83642644 113.966675 47.923705
    Unten rechts KachelX + 1 53516 KachelY + 1 22802 1.98918959 0.83642644 113.972168 47.923705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83649068-0.83642644) × R
    6.42400000000487e-05 × 6371000     		dl = 409.27304000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83649068-0.83642644) × R
    6.42400000000487e-05 × 6371000     		dr = 409.27304000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98909371-1.98918959) × cos(0.83649068) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.670071901464154 × 6371000     		do = 409.314412716472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98909371-1.98918959) × cos(0.83642644) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.670119585189319 × 6371000     		du = 409.343540390561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83649068)-sin(0.83642644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670071901464154-0.670119585189319)×R²
    abs(1.98918959-1.98909371)×4.76837251642825e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.76837251642825e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.76837251642825e-05×40589641000000     		ar = 167527.314651773m²