Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53513 / 50459
↖ ↑ ↗
← S 69.215253°
E113.955689°		 ← 216.74 m → S 69.215253°
E113.961182°		 →
↑
216.74 m
↓
↑
216.74 m
↓
S 69.217202°
E113.955689°		 ← 216.72 m →
46 975 m²		 S 69.217202°
E113.961182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816551208496094 y=0.769950866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816551208496094 × 216)
    floor (0.816551208496094 × 65536)
    floor (53513.5)     		tx = 53513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769950866699219 × 216)
    floor (0.769950866699219 × 65536)
    floor (50459.5)     		ty = 50459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53513 / 50459 ti = "16/53513/50459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53513/50459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53513 ÷ 216
    53513 ÷ 65536     		x = 0.816543579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50459 ÷ 216
    50459 ÷ 65536     		y = 0.769943237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816543579101562 × 2 - 1) × π
    0.633087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98890197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769943237304688 × 2 - 1) × π
    -0.539886474609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69610338235683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98890197} λ = 1.98890197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69610338235683))-π/2
    2×atan(0.183396760598269)-π/2
    2×0.181381138439293-π/2
    0.362762276878585-1.57079632675     		φ = -1.20803405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98890197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.955689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20803405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.215253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53513 KachelY 50459 1.98890197 -1.20803405 113.955689 -69.215253
    Oben rechts KachelX + 1 53514 KachelY 50459 1.98899784 -1.20803405 113.961182 -69.215253
    Unten links KachelX 53513 KachelY + 1 50460 1.98890197 -1.20806807 113.955689 -69.217202
    Unten rechts KachelX + 1 53514 KachelY + 1 50460 1.98899784 -1.20806807 113.961182 -69.217202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20803405--1.20806807) × R
    3.4019999999968e-05 × 6371000     		dl = 216.741419999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20803405--1.20806807) × R
    3.4019999999968e-05 × 6371000     		dr = 216.741419999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98890197-1.98899784) × cos(-1.20803405) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354858092110126 × 6371000     		do = 216.742982746394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98890197-1.98899784) × cos(-1.20806807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354826285920414 × 6371000     		du = 216.723555914707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20803405)-sin(-1.20806807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354858092110126-0.354826285920414)×R²
    abs(1.98899784-1.98890197)×3.18061897119915e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18061897119915e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18061897119915e-05×40589641000000     		ar = 46975.0765605794m²