Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53511 / 50448
↖ ↑ ↗
← S 69.193800°
E113.944702°		 ← 216.96 m → S 69.193800°
E113.950195°		 →
↑
216.93 m
↓
↑
216.93 m
↓
S 69.195751°
E113.944702°		 ← 216.94 m →
47 063 m²		 S 69.195751°
E113.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816520690917969 y=0.769783020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816520690917969 × 216)
    floor (0.816520690917969 × 65536)
    floor (53511.5)     		tx = 53511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769783020019531 × 216)
    floor (0.769783020019531 × 65536)
    floor (50448.5)     		ty = 50448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53511 / 50448 ti = "16/53511/50448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53511/50448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53511 ÷ 216
    53511 ÷ 65536     		x = 0.816513061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50448 ÷ 216
    50448 ÷ 65536     		y = 0.769775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816513061523438 × 2 - 1) × π
    0.633026123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98871022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769775390625 × 2 - 1) × π
    -0.53955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69504877056519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98871022} λ = 1.98871022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69504877056519))-π/2
    2×atan(0.183590275007899)-π/2
    2×0.181568349476913-π/2
    0.363136698953826-1.57079632675     		φ = -1.20765963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98871022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.944702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20765963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.193800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53511 KachelY 50448 1.98871022 -1.20765963 113.944702 -69.193800
    Oben rechts KachelX + 1 53512 KachelY 50448 1.98880609 -1.20765963 113.950195 -69.193800
    Unten links KachelX 53511 KachelY + 1 50449 1.98871022 -1.20769368 113.944702 -69.195751
    Unten rechts KachelX + 1 53512 KachelY + 1 50449 1.98880609 -1.20769368 113.950195 -69.195751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20765963--1.20769368) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dl = 216.932550000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20765963--1.20769368) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dr = 216.932550000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98871022-1.98880609) × cos(-1.20765963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355208120040202 × 6371000     		do = 216.956775525242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98871022-1.98880609) × cos(-1.20769368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355176290328637 × 6371000     		du = 216.937334326696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20765963)-sin(-1.20769368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355208120040202-0.355176290328637)×R²
    abs(1.98880609-1.98871022)×3.18297115650679e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18297115650679e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18297115650679e-05×40589641000000     		ar = 47062.8778442253m²