Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53510 / 50449
↖ ↑ ↗
← S 69.195751°
E113.939209°		 ← 216.96 m → S 69.195751°
E113.944702°		 →
↑
216.93 m
↓
↑
216.93 m
↓
S 69.197702°
E113.939209°		 ← 216.94 m →
47 064 m²		 S 69.197702°
E113.944702°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816505432128906 y=0.769798278808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816505432128906 × 216)
    floor (0.816505432128906 × 65536)
    floor (53510.5)     		tx = 53510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769798278808594 × 216)
    floor (0.769798278808594 × 65536)
    floor (50449.5)     		ty = 50449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53510 / 50449 ti = "16/53510/50449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53510/50449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53510 ÷ 216
    53510 ÷ 65536     		x = 0.816497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50449 ÷ 216
    50449 ÷ 65536     		y = 0.769790649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816497802734375 × 2 - 1) × π
    0.63299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98861434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769790649414062 × 2 - 1) × π
    -0.539581298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69514464436443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98861434} λ = 1.98861434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69514464436443))-π/2
    2×atan(0.183572674354464)-π/2
    2×0.181551322663822-π/2
    0.363102645327643-1.57079632675     		φ = -1.20769368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98861434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.939209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20769368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.195751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53510 KachelY 50449 1.98861434 -1.20769368 113.939209 -69.195751
    Oben rechts KachelX + 1 53511 KachelY 50449 1.98871022 -1.20769368 113.944702 -69.195751
    Unten links KachelX 53510 KachelY + 1 50450 1.98861434 -1.20772773 113.939209 -69.197702
    Unten rechts KachelX + 1 53511 KachelY + 1 50450 1.98871022 -1.20772773 113.944702 -69.197702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20769368--1.20772773) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dl = 216.932550000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20769368--1.20772773) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dr = 216.932550000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98861434-1.98871022) × cos(-1.20769368) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.355176290328637 × 6371000     		do = 216.959962608015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98861434-1.98871022) × cos(-1.20772773) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.355144460205279 × 6371000     		du = 216.940519130054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20769368)-sin(-1.20772773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355176290328637-0.355144460205279)×R²
    abs(1.98871022-1.98861434)×3.18301233573348e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.18301233573348e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.18301233573348e-05×40589641000000     		ar = 47063.5689797657m²