Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53508 / 85756
↖ ↑ ↗
← S 48.451066°
W 33.035889°		 ← 202.58 m → S 48.451066°
W 33.033142°		 →
↑
202.60 m
↓
↑
202.60 m
↓
S 48.452888°
W 33.035889°		 ← 202.57 m →
41 041 m²		 S 48.452888°
W 33.033142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408237457275391 y=0.654270172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408237457275391 × 217)
    floor (0.408237457275391 × 131072)
    floor (53508.5)     		tx = 53508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654270172119141 × 217)
    floor (0.654270172119141 × 131072)
    floor (85756.5)     		ty = 85756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53508 / 85756 ti = "17/53508/85756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53508/85756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53508 ÷ 217
    53508 ÷ 131072     		x = 0.408233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85756 ÷ 217
    85756 ÷ 131072     		y = 0.654266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.18353271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.57658503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.30853271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.969284110317535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57658503} λ = -0.57658503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969284110317535))-π/2
    2×atan(0.379354516902015)-π/2
    2×0.362582852826305-π/2
    0.72516570565261-1.57079632675     		φ = -0.84563062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57658503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.035889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84563062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.451066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53508 KachelY 85756 -0.57658503 -0.84563062 -33.035889 -48.451066
    Oben rechts KachelX + 1 53509 KachelY 85756 -0.57653709 -0.84563062 -33.033142 -48.451066
    Unten links KachelX 53508 KachelY + 1 85757 -0.57658503 -0.84566242 -33.035889 -48.452888
    Unten rechts KachelX + 1 53509 KachelY + 1 85757 -0.57653709 -0.84566242 -33.033142 -48.452888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84563062--0.84566242) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dl = 202.597800000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84563062--0.84566242) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dr = 202.597800000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57658503--0.57653709) × cos(-0.84563062) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.663259464998546 × 6371000     		do = 202.576512909521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57658503--0.57653709) × cos(-0.84566242) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.663235665876277 × 6371000     		du = 202.569244044991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84563062)-sin(-0.84566242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663259464998546-0.663235665876277)×R²
    abs(-0.57653709--0.57658503)×2.37991222686862e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.37991222686862e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.37991222686862e-05×40589641000000     		ar = 41040.8195227653m²