Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53508 / 50452
↖ ↑ ↗
← S 69.201603°
E113.928223°		 ← 216.88 m → S 69.201603°
E113.933716°		 →
↑
216.93 m
↓
↑
216.93 m
↓
S 69.203554°
E113.928223°		 ← 216.86 m →
47 046 m²		 S 69.203554°
E113.933716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816474914550781 y=0.769844055175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816474914550781 × 216)
    floor (0.816474914550781 × 65536)
    floor (53508.5)     		tx = 53508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769844055175781 × 216)
    floor (0.769844055175781 × 65536)
    floor (50452.5)     		ty = 50452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53508 / 50452 ti = "16/53508/50452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53508/50452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53508 ÷ 216
    53508 ÷ 65536     		x = 0.81646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50452 ÷ 216
    50452 ÷ 65536     		y = 0.76983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81646728515625 × 2 - 1) × π
    0.6329345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98842260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76983642578125 × 2 - 1) × π
    -0.5396728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69543226576215
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98842260} λ = 1.98842260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69543226576215))-π/2
    2×atan(0.183519882517678)-π/2
    2×0.181500251379609-π/2
    0.363000502759218-1.57079632675     		φ = -1.20779582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98842260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.928223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20779582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.201603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53508 KachelY 50452 1.98842260 -1.20779582 113.928223 -69.201603
    Oben rechts KachelX + 1 53509 KachelY 50452 1.98851847 -1.20779582 113.933716 -69.201603
    Unten links KachelX 53508 KachelY + 1 50453 1.98842260 -1.20782987 113.928223 -69.203554
    Unten rechts KachelX + 1 53509 KachelY + 1 50453 1.98851847 -1.20782987 113.933716 -69.203554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20779582--1.20782987) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dl = 216.932550000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20779582--1.20782987) × R
    3.40500000000077e-05 × 6371000     		dr = 216.932550000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98842260-1.98851847) × cos(-1.20779582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355080808071692 × 6371000     		do = 216.879014931902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98842260-1.98851847) × cos(-1.20782987) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3550489767133 × 6371000     		du = 216.859572727494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20779582)-sin(-1.20782987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355080808071692-0.3550489767133)×R²
    abs(1.98851847-1.98842260)×3.18313583918539e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18313583918539e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18313583918539e-05×40589641000000     		ar = 47046.0089316911m²