Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53505 / 11008
↖ ↑ ↗
← N 81.621352°
W 33.044128°		 ← 44.50 m → N 81.621352°
W 33.041382°		 →
↑
44.53 m
↓
↑
44.53 m
↓
N 81.620951°
W 33.044128°		 ← 44.51 m →
1 982 m²		 N 81.620951°
W 33.041382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408214569091797 y=0.0839881896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408214569091797 × 217)
    floor (0.408214569091797 × 131072)
    floor (53505.5)     		tx = 53505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0839881896972656 × 217)
    floor (0.0839881896972656 × 131072)
    floor (11008.5)     		ty = 11008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53505 / 11008 ti = "17/53505/11008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53505/11008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53505 ÷ 217
    53505 ÷ 131072     		x = 0.408210754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11008 ÷ 217
    11008 ÷ 131072     		y = 0.083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408210754394531 × 2 - 1) × π
    -0.183578491210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.57672884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083984375 × 2 - 1) × π
    0.83203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61390326248242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57672884} λ = -0.57672884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61390326248242))-π/2
    2×atan(13.6522352456179)-π/2
    2×1.4976788269634-π/2
    2.9953576539268-1.57079632675     		φ = 1.42456133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57672884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.044128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42456133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.621352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53505 KachelY 11008 -0.57672884 1.42456133 -33.044128 81.621352
    Oben rechts KachelX + 1 53506 KachelY 11008 -0.57668090 1.42456133 -33.041382 81.621352
    Unten links KachelX 53505 KachelY + 1 11009 -0.57672884 1.42455434 -33.044128 81.620951
    Unten rechts KachelX + 1 53506 KachelY + 1 11009 -0.57668090 1.42455434 -33.041382 81.620951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42456133-1.42455434) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dl = 44.5332899995476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42456133-1.42455434) × R
    6.989999999929e-06 × 6371000     		dr = 44.5332899995476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57672884--0.57668090) × cos(1.42456133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145714355831018 × 6371000     		do = 44.5049149582828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57672884--0.57668090) × cos(1.42455434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145721271221116 × 6371000     		du = 44.507027096421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42456133)-sin(1.42455434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145714355831018-0.145721271221116)×R²
    abs(-0.57668090--0.57672884)×6.91539009842201e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.91539009842201e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.91539009842201e-06×40589641000000     		ar = 1981.99731450402m²