Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53503 / 86281
↖ ↑ ↗
← S 49.398463°
W 33.049621°		 ← 198.73 m → S 49.398463°
W 33.046875°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
S 49.400250°
W 33.049621°		 ← 198.72 m →
39 489 m²		 S 49.400250°
W 33.046875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408199310302734 y=0.658275604248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408199310302734 × 217)
    floor (0.408199310302734 × 131072)
    floor (53503.5)     		tx = 53503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658275604248047 × 217)
    floor (0.658275604248047 × 131072)
    floor (86281.5)     		ty = 86281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53503 / 86281 ti = "17/53503/86281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53503/86281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53503 ÷ 217
    53503 ÷ 131072     		x = 0.408195495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86281 ÷ 217
    86281 ÷ 131072     		y = 0.658271789550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408195495605469 × 2 - 1) × π
    -0.183609008789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.57682471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658271789550781 × 2 - 1) × π
    -0.316543579101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.994450982618065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57682471} λ = -0.57682471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994450982618065))-π/2
    2×atan(0.369926484872857)-π/2
    2×0.354315254785371-π/2
    0.708630509570741-1.57079632675     		φ = -0.86216582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57682471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.049621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86216582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.398463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53503 KachelY 86281 -0.57682471 -0.86216582 -33.049621 -49.398463
    Oben rechts KachelX + 1 53504 KachelY 86281 -0.57677678 -0.86216582 -33.046875 -49.398463
    Unten links KachelX 53503 KachelY + 1 86282 -0.57682471 -0.86219701 -33.049621 -49.400250
    Unten rechts KachelX + 1 53504 KachelY + 1 86282 -0.57677678 -0.86219701 -33.046875 -49.400250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86216582--0.86219701) × R
    3.11900000000698e-05 × 6371000     		dl = 198.711490000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86216582--0.86219701) × R
    3.11900000000698e-05 × 6371000     		dr = 198.711490000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57682471--0.57677678) × cos(-0.86216582) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650794588649184 × 6371000     		do = 198.727956703051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57682471--0.57677678) × cos(-0.86219701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650770907205164 × 6371000     		du = 198.720725289232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86216582)-sin(-0.86219701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650794588649184-0.650770907205164)×R²
    abs(-0.57677678--0.57682471)×2.368144401943e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.368144401943e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.368144401943e-05×40589641000000     		ar = 39488.8099017281m²