Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53501 / 50429
↖ ↑ ↗
← S 69.156695°
E113.889771°		 ← 217.33 m → S 69.156695°
E113.895263°		 →
↑
217.31 m
↓
↑
217.31 m
↓
S 69.158650°
E113.889771°		 ← 217.31 m →
47 226 m²		 S 69.158650°
E113.895263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816368103027344 y=0.769493103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816368103027344 × 216)
    floor (0.816368103027344 × 65536)
    floor (53501.5)     		tx = 53501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769493103027344 × 216)
    floor (0.769493103027344 × 65536)
    floor (50429.5)     		ty = 50429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53501 / 50429 ti = "16/53501/50429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53501/50429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53501 ÷ 216
    53501 ÷ 65536     		x = 0.816360473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50429 ÷ 216
    50429 ÷ 65536     		y = 0.769485473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816360473632812 × 2 - 1) × π
    0.632720947265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.98775148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769485473632812 × 2 - 1) × π
    -0.538970947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69322716837962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98775148} λ = 1.98775148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69322716837962))-π/2
    2×atan(0.183925008236932)-π/2
    2×0.181892149006422-π/2
    0.363784298012844-1.57079632675     		φ = -1.20701203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98775148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.889771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20701203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.156695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53501 KachelY 50429 1.98775148 -1.20701203 113.889771 -69.156695
    Oben rechts KachelX + 1 53502 KachelY 50429 1.98784735 -1.20701203 113.895263 -69.156695
    Unten links KachelX 53501 KachelY + 1 50430 1.98775148 -1.20704614 113.889771 -69.158650
    Unten rechts KachelX + 1 53502 KachelY + 1 50430 1.98784735 -1.20704614 113.895263 -69.158650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20701203--1.20704614) × R
    3.41100000000871e-05 × 6371000     		dl = 217.314810000555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20701203--1.20704614) × R
    3.41100000000871e-05 × 6371000     		dr = 217.314810000555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98775148-1.98784735) × cos(-1.20701203) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355813413732461 × 6371000     		do = 217.326481509732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98775148-1.98784735) × cos(-1.20704614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355781535785686 × 6371000     		du = 217.30701084971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20701203)-sin(-1.20704614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355813413732461-0.355781535785686)×R²
    abs(1.98784735-1.98775148)×3.18779467745056e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18779467745056e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18779467745056e-05×40589641000000     		ar = 47226.1474105915m²