Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53500 / 50434
↖ ↑ ↗
← S 69.166466°
E113.884278°		 ← 217.23 m → S 69.166466°
E113.889771°		 →
↑
217.19 m
↓
↑
217.19 m
↓
S 69.168419°
E113.884278°		 ← 217.21 m →
47 177 m²		 S 69.168419°
E113.889771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816352844238281 y=0.769569396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816352844238281 × 216)
    floor (0.816352844238281 × 65536)
    floor (53500.5)     		tx = 53500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769569396972656 × 216)
    floor (0.769569396972656 × 65536)
    floor (50434.5)     		ty = 50434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53500 / 50434 ti = "16/53500/50434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53500/50434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53500 ÷ 216
    53500 ÷ 65536     		x = 0.81634521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50434 ÷ 216
    50434 ÷ 65536     		y = 0.769561767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81634521484375 × 2 - 1) × π
    0.6326904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98765561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.53912353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69370653737582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98765561} λ = 1.98765561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69370653737582))-π/2
    2×atan(0.18383686141947)-π/2
    2×0.181806885147505-π/2
    0.36361377029501-1.57079632675     		φ = -1.20718256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98765561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.884278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20718256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.166466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53500 KachelY 50434 1.98765561 -1.20718256 113.884278 -69.166466
    Oben rechts KachelX + 1 53501 KachelY 50434 1.98775148 -1.20718256 113.889771 -69.166466
    Unten links KachelX 53500 KachelY + 1 50435 1.98765561 -1.20721665 113.884278 -69.168419
    Unten rechts KachelX + 1 53501 KachelY + 1 50435 1.98775148 -1.20721665 113.889771 -69.168419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20718256--1.20721665) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dl = 217.187389999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20718256--1.20721665) × R
    3.40899999999866e-05 × 6371000     		dr = 217.187389999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98765561-1.98775148) × cos(-1.20718256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355654038551823 × 6371000     		do = 217.229137098558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98765561-1.98775148) × cos(-1.20721665) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355622177228514 × 6371000     		du = 217.209676591944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20718256)-sin(-1.20721665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355654038551823-0.355622177228514)×R²
    abs(1.98775148-1.98765561)×3.18613233097897e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18613233097897e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18613233097897e-05×40589641000000     		ar = 47177.3160349115m²