Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 535 / 567
↖ ↑ ↗
← S 18.979026°
E  8.085937°		 ← 36.967 km → S 18.979026°
E  8.437500°		 →
↑
36.930 km
↓
↑
36.930 km
↓
S 19.311143°
E  8.085937°		 ← 36.893 km →
1 363.81 km²		 S 19.311143°
E  8.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.52294921875 y=0.55419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.52294921875 × 210)
    floor (0.52294921875 × 1024)
    floor (535.5)     		tx = 535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.55419921875 × 210)
    floor (0.55419921875 × 1024)
    floor (567.5)     		ty = 567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 535 / 567 ti = "10/535/567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/535/567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 535 ÷ 210
    535 ÷ 1024     		x = 0.5224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 567 ÷ 210
    567 ÷ 1024     		y = 0.5537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5224609375 × 2 - 1) × π
    0.044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14112623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5537109375 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.337475773325195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14112623} λ = 0.14112623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.337475773325195))-π/2
    2×atan(0.713569261907555)-π/2
    2×0.619774917549129-π/2
    1.23954983509826-1.57079632675     		φ = -0.33124649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14112623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.085937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33124649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.979026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 535 KachelY 567 0.14112623 -0.33124649 8.085937 -18.979026
    Oben rechts KachelX + 1 536 KachelY 567 0.14726216 -0.33124649 8.437500 -18.979026
    Unten links KachelX 535 KachelY + 1 568 0.14112623 -0.33704303 8.085937 -19.311143
    Unten rechts KachelX + 1 536 KachelY + 1 568 0.14726216 -0.33704303 8.437500 -19.311143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33124649--0.33704303) × R
    0.00579654000000002 × 6371000     		dl = 36929.7563400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33124649--0.33704303) × R
    0.00579654000000002 × 6371000     		dr = 36929.7563400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14112623-0.14726216) × cos(-0.33124649) × R
    0.00613593000000001 × 0.945637692287967 × 6371000     		do = 36966.8781516673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14112623-0.14726216) × cos(-0.33704303) × R
    0.00613593000000001 × 0.94373665385257 × 6371000     		du = 36892.5627380834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33124649)-sin(-0.33704303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945637692287967-0.94373665385257)×R²
    abs(0.14726216-0.14112623)×0.0019010384353968×R²
    0.00613593000000001×0.0019010384353968×6371000²
    0.00613593000000001×0.0019010384353968×40589641000000     		ar = 1363809396.38791m²