Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53499 / 50435
↖ ↑ ↗
← S 69.168419°
E113.878784°		 ← 217.23 m → S 69.168419°
E113.884278°		 →
↑
217.25 m
↓
↑
217.25 m
↓
S 69.170373°
E113.878784°		 ← 217.21 m →
47 192 m²		 S 69.170373°
E113.884278°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816337585449219 y=0.769584655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816337585449219 × 216)
    floor (0.816337585449219 × 65536)
    floor (53499.5)     		tx = 53499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769584655761719 × 216)
    floor (0.769584655761719 × 65536)
    floor (50435.5)     		ty = 50435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53499 / 50435 ti = "16/53499/50435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53499/50435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53499 ÷ 216
    53499 ÷ 65536     		x = 0.816329956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50435 ÷ 216
    50435 ÷ 65536     		y = 0.769577026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816329956054688 × 2 - 1) × π
    0.632659912109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.98755973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769577026367188 × 2 - 1) × π
    -0.539154052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.69380241117506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98755973} λ = 1.98755973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69380241117506))-π/2
    2×atan(0.183819237125993)-π/2
    2×0.181789836959222-π/2
    0.363579673918444-1.57079632675     		φ = -1.20721665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98755973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.878784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20721665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.168419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53499 KachelY 50435 1.98755973 -1.20721665 113.878784 -69.168419
    Oben rechts KachelX + 1 53500 KachelY 50435 1.98765561 -1.20721665 113.884278 -69.168419
    Unten links KachelX 53499 KachelY + 1 50436 1.98755973 -1.20725075 113.878784 -69.170373
    Unten rechts KachelX + 1 53500 KachelY + 1 50436 1.98765561 -1.20725075 113.884278 -69.170373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20721665--1.20725075) × R
    3.41000000001479e-05 × 6371000     		dl = 217.251100000942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20721665--1.20725075) × R
    3.41000000001479e-05 × 6371000     		dr = 217.251100000942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98755973-1.98765561) × cos(-1.20721665) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.355622177228514 × 6371000     		do = 217.232333280717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98755973-1.98765561) × cos(-1.20725075) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.355590306145506 × 6371000     		du = 217.212864782493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20721665)-sin(-1.20725075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355622177228514-0.355590306145506)×R²
    abs(1.98765561-1.98755973)×3.18710830077285e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.18710830077285e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.18710830077285e-05×40589641000000     		ar = 47191.8485892008m²