Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53497 / 22074
↖ ↑ ↗
← N 50.534380°
E113.867798°		 ← 388.27 m → N 50.534380°
E113.873291°		 →
↑
388.25 m
↓
↑
388.25 m
↓
N 50.530889°
E113.867798°		 ← 388.30 m →
150 750 m²		 N 50.530889°
E113.873291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816307067871094 y=0.336830139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816307067871094 × 216)
    floor (0.816307067871094 × 65536)
    floor (53497.5)     		tx = 53497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336830139160156 × 216)
    floor (0.336830139160156 × 65536)
    floor (22074.5)     		ty = 22074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53497 / 22074 ti = "16/53497/22074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53497/22074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53497 ÷ 216
    53497 ÷ 65536     		x = 0.816299438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22074 ÷ 216
    22074 ÷ 65536     		y = 0.336822509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816299438476562 × 2 - 1) × π
    0.632598876953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.98736798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336822509765625 × 2 - 1) × π
    0.32635498046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02527440907376
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98736798} λ = 1.98736798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02527440907376))-π/2
    2×atan(2.78786036979389)-π/2
    2×1.22639382515911-π/2
    2.45278765031821-1.57079632675     		φ = 0.88199132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98736798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.867798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88199132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.534380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53497 KachelY 22074 1.98736798 0.88199132 113.867798 50.534380
    Oben rechts KachelX + 1 53498 KachelY 22074 1.98746386 0.88199132 113.873291 50.534380
    Unten links KachelX 53497 KachelY + 1 22075 1.98736798 0.88193038 113.867798 50.530889
    Unten rechts KachelX + 1 53498 KachelY + 1 22075 1.98746386 0.88193038 113.873291 50.530889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88199132-0.88193038) × R
    6.09400000000093e-05 × 6371000     		dl = 388.248740000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88199132-0.88193038) × R
    6.09400000000093e-05 × 6371000     		dr = 388.248740000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98736798-1.98746386) × cos(0.88199132) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.635615094203651 × 6371000     		do = 388.266421005284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98736798-1.98746386) × cos(0.88193038) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.635662139076445 × 6371000     		du = 388.295158435457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88199132)-sin(0.88193038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635615094203651-0.635662139076445)×R²
    abs(1.98746386-1.98736798)×4.70448727937223e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.70448727937223e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.70448727937223e-05×40589641000000     		ar = 150749.527421487m²