Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53495 / 86277
↖ ↑ ↗
← S 49.391312°
W 33.071594°		 ← 198.80 m → S 49.391312°
W 33.068848°		 →
↑
198.78 m
↓
↑
198.78 m
↓
S 49.393100°
W 33.071594°		 ← 198.79 m →
39 515 m²		 S 49.393100°
W 33.068848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.408138275146484 y=0.658245086669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.408138275146484 × 217)
    floor (0.408138275146484 × 131072)
    floor (53495.5)     		tx = 53495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658245086669922 × 217)
    floor (0.658245086669922 × 131072)
    floor (86277.5)     		ty = 86277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53495 / 86277 ti = "17/53495/86277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53495/86277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53495 ÷ 217
    53495 ÷ 131072     		x = 0.408134460449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86277 ÷ 217
    86277 ÷ 131072     		y = 0.658241271972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.408134460449219 × 2 - 1) × π
    -0.183731079101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.57720821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658241271972656 × 2 - 1) × π
    -0.316482543945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.994259235019585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.57720821} λ = -0.57720821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994259235019585))-π/2
    2×atan(0.36999742418895)-π/2
    2×0.354377653477199-π/2
    0.708755306954398-1.57079632675     		φ = -0.86204102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.57720821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.071594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86204102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.391312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53495 KachelY 86277 -0.57720821 -0.86204102 -33.071594 -49.391312
    Oben rechts KachelX + 1 53496 KachelY 86277 -0.57716027 -0.86204102 -33.068848 -49.391312
    Unten links KachelX 53495 KachelY + 1 86278 -0.57720821 -0.86207222 -33.071594 -49.393100
    Unten rechts KachelX + 1 53496 KachelY + 1 86278 -0.57716027 -0.86207222 -33.068848 -49.393100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86204102--0.86207222) × R
    3.1199999999898e-05 × 6371000     		dl = 198.77519999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86204102--0.86207222) × R
    3.1199999999898e-05 × 6371000     		dr = 198.77519999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.57720821--0.57716027) × cos(-0.86204102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650889338460902 × 6371000     		do = 198.798357857401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.57720821--0.57716027) × cos(-0.86207222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650865651958317 × 6371000     		du = 198.791123389821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86204102)-sin(-0.86207222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650889338460902-0.650865651958317)×R²
    abs(-0.57716027--0.57720821)×2.36865025844413e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36865025844413e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36865025844413e-05×40589641000000     		ar = 39515.4643296197m²