Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53495 / 50431
↖ ↑ ↗
← S 69.160604°
E113.856812°		 ← 217.29 m → S 69.160604°
E113.862305°		 →
↑
217.25 m
↓
↑
217.25 m
↓
S 69.162558°
E113.856812°		 ← 217.27 m →
47 204 m²		 S 69.162558°
E113.862305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.816276550292969 y=0.769523620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.816276550292969 × 216)
    floor (0.816276550292969 × 65536)
    floor (53495.5)     		tx = 53495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769523620605469 × 216)
    floor (0.769523620605469 × 65536)
    floor (50431.5)     		ty = 50431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53495 / 50431 ti = "16/53495/50431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53495/50431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53495 ÷ 216
    53495 ÷ 65536     		x = 0.816268920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50431 ÷ 216
    50431 ÷ 65536     		y = 0.769515991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.816268920898438 × 2 - 1) × π
    0.632537841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.98717624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769515991210938 × 2 - 1) × π
    -0.539031982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6934189159781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.98717624} λ = 1.98717624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6934189159781))-π/2
    2×atan(0.183889744439284)-π/2
    2×0.181858038878887-π/2
    0.363716077757773-1.57079632675     		φ = -1.20708025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.98717624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 113.856812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20708025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.160604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53495 KachelY 50431 1.98717624 -1.20708025 113.856812 -69.160604
    Oben rechts KachelX + 1 53496 KachelY 50431 1.98727211 -1.20708025 113.862305 -69.160604
    Unten links KachelX 53495 KachelY + 1 50432 1.98717624 -1.20711435 113.856812 -69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 53496 KachelY + 1 50432 1.98727211 -1.20711435 113.862305 -69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20708025--1.20711435) × R
    3.40999999999259e-05 × 6371000     		dl = 217.251099999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20708025--1.20711435) × R
    3.40999999999259e-05 × 6371000     		dr = 217.251099999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.98717624-1.98727211) × cos(-1.20708025) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355749657424963 × 6371000     		do = 217.287539936852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.98717624-1.98727211) × cos(-1.20711435) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 217.268074479565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20708025)-sin(-1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355749657424963-0.355717787996262)×R²
    abs(1.98727211-1.98717624)×3.18694287010368e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18694287010368e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18694287010368e-05×40589641000000     		ar = 47203.842625845m²